Torsionsbeanspruchung: Beanspruchung auf Verdrehung

Bei einer Torsionsbeanspruchung wird ein Bauteil (Stab oder Welle) mit einem Moment (Drehmoment/Torsionsmoment) belastet, das um die Längsachse wirkt. Das kommt meistens bei kreisförmigen Bauteilen vor, da diese sehr gut geeignet sind, um große Drehmomente zu übertragen. Durch die Einwirkung des Torsionsmoments verformen sich die Linien schraubenförmig, die parallel zur Längsachse auf dem Mantel des Bauteils sind. Alle Quadrate auf der Oberfläche verformen sich dadurch zu kongruenten Rauten. Die senkrechten und radialen Linien bleiben dagegen unverformt.

Die Einwirkung des Torionsmoments (M_t) bewirkt, dass das Bauteil um den Verdrehwinkel (φ) verdreht wird und um den Scherwinkel (γ) verzerrt wird. Durch Multiplikation des Verdrehwinkels mit dem Radius (r) erhält man die Bogenlänge (b), die man ebenfalls durch Multiplikation des Scherwinkels mit der Stablänge (l) erhält, wobei die Winkelangaben im Bogenmaß (Radiant) angegeben werden. Der Verdrehwinkel ist proportional zur Stablänge und der Scherwinkel proportional zum Radius. Der Verdrehwinkel steht in einem direkten Zusammenhang mit dem Scherwinkel. Folgende Gleichung kann aus diesen Erkenntnissen abgeleitet werden:

Belässt man die Bogenlänge (b) außen vor und stellt die Gleichung auf Gamma (γ) um, erhält man folgende Gleichung:

Für die Berechnung der Torsionsspannung (τ_t) benötigt man das Torsionsmoment (M_t) und das polare Widerstandsmoment (W). Die Formel lautet:

Aus dem Hookeschen Gesetz kann man folgende Gleichung ableiten:

Setzt man in diese Gleichung anstelle von τ den Term M_t : W aus der Gleichung für die Torsionsspannung (τ_t), erhält man folgende Gleichung für γ:

Anstelle von γ kann der Term φ · r : l (aus der zweiten Gleichung) eingesetzt werden. Daraus resultiert:

Die Formel kann wie folgt umgestellt werden, um den Verdrehwinkel (φ) zu ermitteln:

Daraus kann man zwei weitere Gleichungen für den Verdrehwinkel (φ) ableiten. Der Term W · r ergibt das polare Flächenmoment des zweiten Grades (I_p) und kann dadurch ersetzt werden. Der Term M_t : W ergibt die Torsionsspannung (τ), weshalb dieser den Term ersetzen kann. Die beiden Gleichungen sind dadurch wie folgt: