Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme
Eine Gleichung ist eine Formel, bei der durch das Gleichheitszeichen (=) symbolisiert wird, dass die linke Seite dem Wert der rechten Seite entspricht. Häufig muss man Gleichungen umstellen, damit man den Wert für eine Variable, was auch immer das sein mag, berechnen kann. Es gibt verschiedene Arten von Gleichungen und man hat verschiedene Methoden entwickelt, um sie zu lösen. Zwei bekannte Arten sind:
- Lineare Gleichungen
- Lineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungen
Wenn die Gleichung eine oder mehrere Variablen in der 1. Potenz hat, dann spricht man von linearen Gleichungen. Einige Beispiele:
- 5x + 10 = 60
- 5x + 10y =110
- 5x + 5 = 5y + 30
- 5 · (3x + 2y) - x = z - 2y - 30
- x : y = 2
Lösungsmenge bei linearen Gleichungen
Um die lineare Gleichung lösen zu können, wird die Äquivalenzumformung angewendet. Als Ergebnis erhält man die Lösungsmenge, die anstelle der Variable (x) eingesetzt werden kann. Die grundsätzliche Vorgehensweise wird dabei auf Gleichungen umstellen erklärt. Folgendes ist beim Ermitteln der Lösungsmenge zu beachten:
- Bei der Äquivalenzumformung addiert, subtrahiert, dividiert oder multipliziert man jeweils beide Seiten mit einer Zahl oder einem Term.
- Multiplikation oder Division durch Null ist nicht erlaubt.
- Quadrieren der beiden Seiten ist ebenfalls nicht erlaubt.
- Eine lineare Gleichung hat üblicherweise genau eine Lösung. In Ausnahmefällen kann es vorkommen, dass man keine oder unendlich viele Lösungen hat.
- Die Lösungsmenge mit einer Lösung wird z.B. in der Form L = {5} geschrieben (5 stellt Wert den Wert der Variable dar).
- Eine Lösungsmenge mit keiner Lösung schreibt man in der Form L = { }, was so viel wie "leere Menge" bedeutet.
- Lösungsmengen mit unendlich vielen Lösungen wären z.B. L = {ℝ} oder L = {ℚ}.
- Die Menge aller Zahlen, die für eine Lösung vorgesehen sind bzw. zur Verfügung stehen, nennt man Grundmenge. Die Grundmenge wird z.B. in der Form G = {ℝ} geschrieben.
- Die Menge aller Zahlen aus der Grundmenge, die zum Einsetzen in die Terme anstelle der Variable (x) vorgesehen sind, nennt man Definitionsmenge, z.B. D = {ℚ}. Soll z.B. eine Zahl ausgeschlossen werden, schreibt man das in der Form D = {ℚ\0}.
- Man kann eine lineare Gleichung grafisch darstellen. Weil eine Darstellung gerade Linien ergibt, sprich linear verläuft, hat man sie dementsprechend benannt.
Lineare Gleichungssysteme
Eine Erweiterung bilden die linearen Gleichungssysteme. Sie bestehen aus mindestens 2 linearen Gleichungen und 2 Variablen. Ein lineares Gleichungssystem mit 2 Variablen und 2 Gleichungen nennt man 2-2-System und ist die am meisten anzutreffende Form Als Variablen benutzt man dabei meistens x und y, angelehnt an das kartesische Koordinatensystem. Einige Beispiele:
2x + 3y = 16
9x - 3y = 6
2y - 5x = - 4
- 2y + 8x = 8
1/4y + 10 = 5x + 1
3/4y - 5 = x - 4
Lösungsmenge bei linearen Gleichungssystemen
Für die Lösungsmenge trifft bei linearen Gleichungssystemen im Grunde dasselbe zu wie bei linearen Gleichungen.
- Da lineare Gleichungssysteme aus mindestens 2 linearen Gleichungen und 2 Variablen bestehen, muss das bei der Angabe der Lösungsmenge berücksichtigt werden. Die Lösungsmenge wird in der Form L = {(x;y)} angegeben, z.B. L = {5;8}. Häufig auch mit einer zusätzlichen runden Klammer in der Form L = {(5;8)}. Die Werte für die Variablen werden alphabetisch angeordnet. In diesem Beispiel ist x = 5 und y = 8.
- Um die Lösungsmenge zu berechnen, gibt es mehrere Verfahren:
Welches Verfahren benutzt wird, spielt übrigens keine Rolle. Alle 3 Verfahren führen zum selben Ziel. Je nach Vorliebe kann man also ein Verfahren aussuchen und benutzen. Alle 3 Verfahren haben gemeinsam, dass eine Variable aus der Gleichung entfernt wird, um den Wert für die andere Variable zu ermitteln. Hat man den Wert einer Variable ermittelt, kann man ohne Probleme den Wert der zweiten Variable ermitteln.
Grafische Darstellung der Lösungsmenge
Eine Lösungsmenge kann grafisch dargestellt werden. Wenn es genau eine Lösung gibt, dann schneiden sich die Geraden. Der Schnittpunkt bildet die Lösung. Gibt es keine Lösung, berühren sich die Geraden nie. Bei unendlich vielen Lösungen sind die Geraden identisch und berühren sich somit an jedem Punkt.