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Dreieck berechnen

Dreieck

Ein Dreieck ist eine geometrische Form mit 3 Punkten, 3 Winkeln und 3 Seiten. Die Punkte werden häufig in Großbuchstaben A, B und C benannt. In Kleinbuchstaben benennt man die jeweils zum Punkt gegenüberliegende Seite, also a, b und c. Die Winkel werden als α (Punkt A), β (Punkt B) und γ (Punkt C) benannt. Alle 3 Winkel ergeben zusammen immer 180°. Ist der Winkel γ größer als 90°, sind die beiden anderen Winkel zwangsläufig spitz.

Rechtwinklige Dreiecke können z.B. mit dem Satz des Pythagoras oder mit den Winkelfunktionen berechnet werden. Hat man es nicht mit einem rechtwinkligen Dreieck zu tun, so stellt das trotzdem kein Problem dar. Denn, jedes Dreieck kann durch die Ziehung der Höhenlinien ha (Höhe zu a), hb (Höhe zu b) und hc (Höhe zu c) in rechtwinklige Dreiecke zerlegt werden. Dabei werden die Seiten a, b und c geteilt.

Ermitteln des Sinussatzes

Auf der Seite Trigonometrie im Einheitskreis wird erläutert, wie die Winkelfunktionen für rechtwinklige Dreiecke sind. Wenn man davon ausgeht, dass die Teilstrecken von a, b und c nicht bekannt sind, kann man diese trotzdem berechnen, wenn man folgende Winkelfunktion nimmt:

  • sin α = Gegenkathete : Hypotenuse

Diese Funktion kann auf die rechtwinkligen Teildreiecke angewendet werden. Wichtig ist dabei nur, dass man genau weiß, was bei den Teildreiecken die Ankathete, Gegenkathete und Hypotenuse ist. Als Ergebnis erhält man folgende Gleichungen:

  • sin α = hb : c
  • sin α = hc : b
  • sin β = hc : a
  • sin β = ha : c
  • sin γ = ha : b
  • sin γ = hb : a

Nachfolgend die Erläuterung in der Bildergalerie, wann man die Seiten a, b und c, die Höhen ha, hb und hc als Ankathete, Gegenkathete und Hypotenuse in die Funktion sin α = Gegenkathete : Hypotenuse einsetzt und die Gleichungen bildet.

1. Bei diesem rechtwinkligen Dreieck ist, bezogen auf den Winkel α, die Seite hb die Gegenkathete und Seite c die Hypotenuse.

2. Bei diesem Dreieck ist hc die Gegenkathete und b die Hypotenuse.

3. Bezogen auf den Winkel β ist hc die Gegenkathete und a die Hypotenuse.

4. Bei diesem Dreieck ist die Seite ha die Gegenkathete und c die Hypotenuse.

5. Bezogen auf den Winkel γ ist ha die Gegenkathete und b die Hypotenuse.

6. Bei diesem Dreieck ist hb die Gegenkathete und a die Hypotenuse.

Im nächsten Schritt stellt man die Formeln um, so dass man die Höhen ha, hb und hc berechnen kann:

  • ha = c · sin β
  • ha = b · sin γ
  • hb = a · sin γ
  • hb = c · sin α
  • hc = b · sin α
  • hc = a · sin β

Da man mit jeweils zwei Gleichungen die Höhen ha, hb und hc ermitteln kann, kann man wieder neue Gleichungen bilden:

  • c · sin β = b · sin γ
  • a · sin γ = c · sin α
  • b · sin α = a · sin β

Im nächsten Schritt kann man wieder die Gleichungen umstellen, um dann folgende Formeln zu erhalten:

  • sin α = a · sin γ : c
  • sin β = b · sin α : a
  • sin γ = c · sin β : b

Die Gleichungen werden erneut umgestellt und man erhält folgenden interessanten Gleichungssatz, der Sinussatz genannt wird:

Sinussatz

Ein erneutes Umstellen durch Kehrwert der Quotienten ergibt folgenden Sinussatz:

Sinussatz nach Kehrwert der Quotienten

Formt man das erneut um, erhält man folgenden Sinussatz:

Sinussatz umgestellt

Voraussetzungen, um ein Dreieck eindeutig zu konstruieren

Aus all den Gleichungen lässt sich ablesen, dass man mit dem Sinussatz ein Dreieck berechnen und exakt konstruieren kann, wenn man eine der folgenden Informationen hat:

  • Zwei Winkel und eine Seite, hierbei hat man natürlich automatisch den dritten Winkel, da die Winkelsumme 180° ist
  • Zwei Seiten und ein Winkel, wobei der Winkel nicht von den beiden Seiten eingeschlossen sein darf

In der folgenden Bildergalerie sind die Sinussätze soweit umgestellt, um die Seiten a, b und c sowie sin α, sin β und sin γ zu berechnen.

1. Ist die Seite b bekannt, kann man mit α und β die Länge von a berechnen.

2. Seite a kann auch mit der Seite c und den Winkeln α und γ berechnet werden.

3. Mit dem Wert von a und den beiden Winkeln α und β kann man b berechnen.

4. Man kann b ebenfalls mit dem Wert von c und den beiden Winkeln β und γ berechnen.

5. Um Seite c zu berechnen, braucht man Seite a und die Werte von α und γ.

6. Falls Seite b bekannt ist, braucht man die Werte von β und γ, um Seite c zu berechnen.

7. Für die Berechnung von sin α braucht man die Seiten a und b sowie den Winkel β.

8. Falls die Seiten a und c bekannt sind, braucht man den Winkel γ, um sin α zu berechnen.

9. Mit den Seiten a und b und dem Winkel α kann man sin β berechnen.

10. Man kann sin β auch berechnen, wenn die Seiten b und c und der Winkel γ bekannt ist.

11. Sind die Seiten a und c sowie der Winkel α bekannt, kann man sin γ berechnen.

12. Mit den Seiten b und c sowie dem Winkel β kann sin γ ebenfalls berechnet werden. Bei den Formeln wird deutlich, dass wenn zwei Seiten und ein Winkel gegeben sind, der Winkel nicht eingeschlossen sein darf.

Dreiecke, die nicht mit dem Sinussatz berechnet werden können

Mit dem Sinussatz kann man bereits viele Dreiecke berechnen. Es gibt jedoch zwei Situationen, in den man den Sinussatz nicht anwenden kann.

  • Zwei Seiten und ein Winkel sind bekannt, jedoch ist der bekannte Winkel eingeschlossen
  • Alle drei Seiten sind bekannt, jedoch kein Winkel

Bei der ersten Situation muss man zunächst die unbekannte Seite ermitteln, sind alle 3 Seiten, jedoch kein Winkel bekannt, braucht man den Wert eines unbekannten Winkels. Hierfür kann der Kosinussatz angewendet werden. Hat man den Wert der unbekannten Seite bzw. vom unbekannten Winkels ermittelt, kann man danach mit den Sinussätzen die übrigen fehlenden Werte ermitteln.

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