Winkelfunktionen: Winkeln berechnen mit Trigonometrie
Die Winkelfunktionen, auch Trigonometrie genannt, gehören zu den notwendigen mathematischen Kenntnissen eines jeden Facharbeiters und sollten daher beherrscht werden. Die Grundlage der Winkelfunktionen bildet ein Kreis. Insbesondere wenn man z.B. Flächen oder Bogenmaße von nicht vollständigen Kreisen berechnet, benötigt man die Angabe des Winkels.
Ein Kreis ist aufgeteilt in 360°. Das bedeutet, man beginnt bei 0°. Je höher die Steigung, umso höher die Gradzahl. Ist man bei 360° angelangt, ist man im Grunde wieder bei 0°. Nicht umsonst gibt es den Spruch "Um sich zu ändern, müsste er sich um 180° drehen". Bei 360° gäbe es nämlich keine Änderung, da man wieder genau in derselben Position wie 0° wäre.
Die Einteilung in 360° hat sich historisch entwickelt und geht bis in die Zeit der Sumerer zurück. Sie waren von der Tatsache begeistert, dass man z.B. einen Kreis in 6 gleiche Abschnitte unterteilen kann und diese völlig identisch sind. Jedes Abschnitt hat man wiederum in 60 gleiche Abschnitte unterteilt, so dass ein Abschnitt 60° ergab. Alle 6 Abschnitte zusammen ergaben 360° für einen vollständigen Kreis.
Einteilung eines Grads in Minuten und Sekunden
1 Grad entspricht dem 360ten Teil eines Kreises. Es ist übrigens völlig egal, wie groß der Kreis ist. Die Steigung von 1° bleibt immer gleich. Durch die Einteilung eines Kreises in 360 Teilstücke kann man schon mal viele schräge Werkstücke, Gebäude etc. bauen oder berechnen. Jedoch war diese Einteilung nicht genau genug. Insbesondere bei großen Strecken kann es einen großen Unterscheid bedeuten, ob z.B. eine Rampe in einem Winkel von 33° gebaut wird oder 32°. Daher hat man einen Grad eingeteilt in 60 Minuten und jede Minute wiederum eingeteilt in 60 Minuten. Durch diese feine Einteilung ist es nun möglich, auch für großen Strecken exakte Berechnungen durchzuführen.
Da man Grad, Minuten und Sekunden in Berechnungen einsetzt, brauchte man für diese Einheiten ein Einheitszeichen. Diese sind wie folgt:
- Einheitszeichen für Grad: °
- Einheitszeichen für Minuten: '
- Einheitszeichen für Sekunden: ''
Beispiel: 34°13'25''.
Umrechnung eines Winkels in dezimale Schreibweise
Eine Zeit kann sowohl in herkömmlicher Schreibweise als auch in dezimaler Schreibweise dargestellt werden. Wenn man z.B. jemandem sagt "Ich komme 1 Stunde und 30 Minuten später", dann meint man dezimal ausgedrückt 1,5 Stunden.
Ein Winkel kann ebenfalls in dezimaler Schreibweise angegeben werden. Hierbei verhält es sich wie bei einer Uhr, da ein Grad 60 Minuten und jede Minute 60 Sekunden hat. 1°30' ist dezimal ausgedrückt wie bei einer Uhr 1,5 Grad.
Für einfache Minuten- oder Sekundenangaben mag man die dezimale Schreibweise im Kopf haben. Bei komplizierten Angaben des Winkels, z.B. 13°39'27'', muss man diese jedoch berechnen. Für die Umrechnung geht man wie folgt vor:
- Die Gradzahl bleibt wie angegeben, z.B. 13° bleibt in dezimaler Schreibweise ebenfalls 13.
- Die Minutenzahl wird durch 60 geteilt, da ein Grad 60 Minuten hat. Dadurch erhält man die Nachkommastelle für die Minuten in dezimaler Schreibweise.
- Die Sekundenzahl wird durch 3600 geteilt, da ein Grad 3600 Sekunden hat. So erhält man die Nachkommastelle für die Sekunden in dezimaler Schreibweise.
- Zum Schluss addiert man die Gradzahl, die Minuten und die Sekunden zusammen und erhält so die komplette dezimale Schreibweise.
Beispiel für 13°39'27''
13° = 13°
39 : 60 = 0,65
27 : 3600 = 0,0075
Ergebnis: 13 + 0,65 + 0,0075 = 13,6575°
Umrechnung der dezimalen Angabe in Grad, Minuten und Sekunden
Die Umrechnung kann natürlich auch in die andere Richtung erfolgen. Hat man die Angabe eines Winkels in dezimaler Schreibweise, kann man diese wieder in Grad, Minuten und Sekunden umrechnen. Die Berechnung erfolgt dabei wie folgt:
- Die Gradzahl bleibt auch hier wie angegeben.
- Die Nachkommastelle wird mit 60 multipliziert und dadurch erhält man evtl. eine Zahl mit Nachkommastellen. Die Zahl vor dem Komma gibt die Minuten an.
- Die Nachkommastelle wird erneut mit 60 multipliziert. Dadurch erhält man die Sekunden.
Beispiel für 13,6575°
13° = 13°
0,6575 · 60 = 39,45 (durch die Zahl vor dem Komma erhält man 39 Minuten)
0,45 · 60 = 27 Sekunden
Ergebnis: 13°39'27''
Darstellung der Winkelfunktionen im Einheitskreis
Auch wenn die Umrechnung eine wichtige Grundlage bildet, gehört zu den Winkelfunktionen nicht nur die Umrechnung der Einheiten. Den Kern der Trigonometrie bildet die Tatsache, dass man bei einem rechtwinkligen Dreieck lediglich eine Seitenlänge und (außer dem rechten Winkel) einen Winkel benötigt, um die übrigen Seitenlängen berechnen zu können. Das bedeutet, die Seitenlängen stehen, abhängig vom angegebenem Winkel, in einem Verhältnis zueinander. Unter Winkelfunktionen im Einheitskreis wird erläutert, wie das Verhältnis der Seiten zueinander ist und bildet daher eine weitere Grundlage.