Torsionsbeanspruchung: Beanspruchung auf Verdrehung
Bei einer Torsionsbeanspruchung wird ein Bauteil (Stab oder Welle) mit einem Moment (Drehmoment/Torsionsmoment) belastet, das um die Längsachse wirkt. Das kommt meistens bei kreisförmigen Bauteilen vor, da diese sehr gut geeignet sind, um große Drehmomente zu übertragen. Durch die Einwirkung des Torsionsmoments verformen sich die Linien schraubenförmig, die parallel zur Längsachse auf dem Mantel des Bauteils sind. Alle Quadrate auf der Oberfläche verformen sich dadurch zu kongruenten Rauten. Die senkrechten und radialen Linien bleiben dagegen unverformt.
![Torsionsbeanspruchung Torsionsbeanspruchung](typo3temp/fl_realurl_image/torsionsbeanspruchung-48.jpg)
Die Einwirkung des Torionsmoments (Mt) bewirkt, dass das Bauteil um den Verdrehwinkel (φ) verdreht wird und um den Scherwinkel (γ) verzerrt wird. Durch Multiplikation des Verdrehwinkels mit dem Radius (r) erhält man die Bogenlänge (b), die man ebenfalls durch Multiplikation des Scherwinkels mit der Stablänge (l) erhält, wobei die Winkelangaben im Bogenmaß (Radiant) angegeben werden. Der Verdrehwinkel ist proportional zur Stablänge und der Scherwinkel proportional zum Radius. Der Verdrehwinkel steht in einem direkten Zusammenhang mit dem Scherwinkel. Folgende Gleichung kann aus diesen Erkenntnissen abgeleitet werden:
![Gleichung bei Torsion Gleichung bei Torsion](typo3temp/fl_realurl_image/gleichung-bei-torsion-24.jpg)
Belässt man die Bogenlänge (b) außen vor und stellt die Gleichung auf Gamma (γ) um, erhält man folgende Gleichung:
![Formel für Gamma Formel für Gamma](typo3temp/fl_realurl_image/formel-fuer-gamma-22.jpg)
Torsionsspannung berechnen
Für die Berechnung der Torsionsspannung (τt) benötigt man das Torsionsmoment (Mt) und das polare Widerstandsmoment (W). Die Formel lautet:
![Formel für Torsionsspannung Formel für Torsionsspannung](typo3temp/fl_realurl_image/formel-fuer-torsionsspannung-5c.jpg)
Beispiel:
Torsionsmoment (Mt): 500 Nm = 500000 Nmm
Polares Widerstandsmoment (W): 4970 N/mm³
Gesucht: Torsionsspannung τt
Berechnung: 500000 : 4970 = 100,60 N/mm²
Aus dem Hookeschen Gesetz kann man folgende Gleichung ableiten:
![Formel beim Hookeschen Gesetz Formel beim Hookeschen Gesetz](typo3temp/fl_realurl_image/formel-beim-hookeschen-gesetz-2b.jpg)
Setzt man in diese Gleichung anstelle von τ den Term Mt : W aus der Gleichung für die Torsionsspannung (τt), erhält man folgende Gleichung für γ:
![Formel für Gamma mit Torsionsmoment Formel für Gamma mit Torsionsmoment](typo3temp/fl_realurl_image/formel-fuer-gamma-mit-torsionsmoment-59.jpg)
Anstelle von γ kann der Term φ · r : l (aus der zweiten Gleichung) eingesetzt werden. Daraus resultiert:
![Gleichung für Torsionsbeanspruchung Gleichung für Torsionsbeanspruchung](typo3temp/fl_realurl_image/gleichung-fuer-torsionsbeanspruchung-19.jpg)
Die Formel kann wie folgt umgestellt werden, um den Verdrehwinkel (φ) zu ermitteln:
![Formel für Verdrehwinkel Formel für Verdrehwinkel](typo3temp/fl_realurl_image/formel-fuer-verdrehwinkel-6d.jpg)
Daraus kann man zwei weitere Gleichungen für den Verdrehwinkel (φ) ableiten. Der Term W · r ergibt das polare Flächenmoment des zweiten Grades (Ip) und kann dadurch ersetzt werden. Der Term Mt : W ergibt die Torsionsspannung (τ), weshalb dieser den Term ersetzen kann. Die beiden Gleichungen sind dadurch wie folgt:
![Formel für Verdrehwinkel mit polarem Flächenträgheitsmoment Formel für Verdrehwinkel mit polarem Flächenträgheitsmoment](typo3temp/fl_realurl_image/formel-fuer-verdrehwinkel-mit-polarem-flaechentraegheitsmoment-0c.jpg)
Die Verdrehsteifigkeit einer Welle wird mit dem Produkt aus Ip · G dargestellt. Aus den Gleichungen kann man erkennen, dass der Verdrehwinkel mit dem Torsionsmoment (Mt), mit der Stablänge (l) und mit dem Kehrwert der Verdrehsteifigkeit wächst.