Satz des Pythagoras
In der Mathematik steht man immer wieder vor der Aufgabe, eine fehlende Seitenlänge in einem Dreieck zu berechnen. Eine solche Aufgabe kann man einmal mit den Winkelfunktionen lösen. Die einfachere Möglichkeit ist die Lösung mit dem Satz des Pythagoras. Der Unterschied zwischen den Winkelfunktionen und dem Satz des Pythagoras ist, dass man mit den Winkelfunktionen die Seitenlängen jedes beliebigen Dreiecks berechnen kann, mit dem Pythagorassatz jedoch nur Seitenlängen von rechtwinkligen Dreiecken.
Für die Berechnung einer fehlenden Seitenlänge braucht man beim Satz des Pythagoras zwei Seitenlängen. Die Seitenlängen, die den rechten Winkel bilden, werden immer mit a und b angegeben, auch Katheten genannt. Man kann a und b vertauschen, das spielt bei der Berechnung keine Rolle. Die längste Seite ist immer c, auch Hypotenuse genannt.
Lehrsatz des Pythagoras
Der Lehrsatz des Pythagoras besagt, dass die Summe der Quadrate von a und b gleich c² ist.
Daher lautet die Pythagoras Formel: a² + b² = c².
Auf dem Bild ist das beispielhaft abgebildet.
a hat die Länge 3. a² ist 9.
b hat die Länge 4. b² ist 16.
Rechnet man a² + b², ergibt das 25.
Wenn a² + b² = c² ist, dann muss c² ebenfalls 25 sein. Schaut man sich das Bild an, stimmt das auch, c² ist ebenfalls 25.
Mit der Erkenntnis, dass a² + b² = c² ist, kann man nun in einem rechtwinkligen Dreieck die fehlende Seitenlänge berechnen. Hierfür braucht man die Maße von 2 Seiten.
Sind z.B. die Längen von a und b bekannt, quadriert man a und b und addiert sie zusammen. Als Ergebnis erhält man c².
Der letzte Schritt besteht darin, Wurzel zu ziehen, damit man von c² auf c kommt.
Interaktives Java-Applet zur Veranschaulichung
Ein interaktives Java-Applet veranschaulicht die Zusammenhänge unter Satz des Pythagoras. Zum Betrachten wird auf dem Rechner Java benötigt.
Lösung einer Beispielaufgabe mit dem Satz des Pythagoras
Die Seitenlängen a und b sind bekannt. c wird gesucht.
a hat die Länge 5.
b hat die Länge 9.
a² ist 25.
b² ist 81.
a² + b² = 25 + 81 = 106
c² ist in diesem Beispiel 106. Als letzten Schritt ziehen wir die Wurzel von 106 und erhalten als Seitenlänge c die Zahl 10,295.
Der Vollständigkeit halber die Formel für die Berechnung von c:
Katheten a oder b berechnen
Mit dem Satz des Pythagoras kann man natürlich nicht nur die Hypotenuse c berechnen, sondern auch die Katheten a oder b. Hierfür muss jedoch die Pythagoras Formel umgestellt werden, wofür Kenntnisse beim Umstellen von Gleichungen notwendig sind.
Formel für die Berechnung von a² = c² - b². Zieht man aus a² die Wurzel, erhält man a.
Formel für die Berechnung von a:
Formel für die Berechnung von b² = c² - a². Zieht man aus b² die Wurzel, erhält man b.
Formel für die Berechnung von b:
