Bei Exponentialgleichungen durch Logarithmus Exponenten ermitteln

Zum Umstellen von Formeln gehören auch Exponentialgleichungen. Wenn man eine Gleichung in der Form x = 5² hat, braucht man nur 5 · 5 ausrechnen und hat das Ergebnis für x. Wenn man eine Gleichung in der Form x² = 25 hat, zieht man auf beiden Seiten die Wurzel und hat das Ergebnis für x. Was macht man aber, wenn der Exponent unbekannt ist und ermittelt werden soll?

Exponentialgleichung

Nachfolgend die Erläuterung in der Bildergalerie.

Exponenten mit Logarithmus ermitteln

  • Bild 1 für Logarithmus

    1. Wenn man eine Gleichung mit einem Exponenten in der Form x=5³ hat, braucht man nur 5 · 5 ·5 ausrechnen und erhält den Wert für x.

  • Bild 2 für Logarithmus

    2. Bei einer Gleichung wie x³=125 zieht man auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel, bzw. wie in diesem Fall die 3. Wurzel und erhält den Wert für x.

  • Bild 3 für Logarithmus

    3. Was macht man aber, wenn der Exponent unbekannt ist? In diesem Fall kann man den Exponenten durch Logarithmus ermitteln.

  • Bild 4 für Logarithmus

    4. Auf beiden Seiten der Gleichung wird der Zehnerlogarithmus angewendet. Dadurch wird aus 5 hoch x der Term x · lg5.

  • Bild 5 für Logarithmus

    5. Gibt man im Taschenrechner die Zahl 5 bzw. 125 ein und drück danach die LOG-Taste, erhält man die Werte für lg5 bzw. lg125.

  • Bild 6 für Logarithmus

    6. Eine gute Frage ist, was ist das für eine Zahl? 10 hoch lg5 ergibt die Zahl 5. 10 hoch lg125 ergibt 125.

  • Bild 7 für Logarithmus

    7. Da man x ermitteln möchte, stellt man die Formel um und rechnet das Ergebnis aus.

  • Bild 8 für Logarithmus

    8. Zum Schluss erhält man den Wert für den Exponenten.

Beispiel aus der Praxis: Ermitteln der Anlagedauer bei der Zinseszinsrechnung

Formel aus der Zinseszinsrechnung

Ein Beispiel aus der Zinseszinsrechnung. Mit der abgebildeten Formel kann man das Endkapital berechnen, wenn das Anfangskapital, der Zinssatz und die Anlagedauer bekannt sind. Man stelle sich nun vor, das Anfangskapital und der Zinssatz ist bekannt. Man weiß auch, welches Endkapital man haben möchte. Dann stellt sich die Frage, wie lange man das Geld anlegen müsste, um inkl. Zinsen und Zinseszinsen das Endkapital zu erreichen. In dem Fall muss die Formel nach Anzahl der Jahre (n) für die Kapitalanlage umgestellt werden. Nachfolgend die Lösung in der Bildergalerie.

  • Bild 1 für Logarithmus Beispiel

    1. Die Formel, um das Endkapital Kn zu berechnen, muss auf die Anlagedauer (n) umgestellt werden.

  • Bild 2 für Logarithmus Beispiel

    2. Man setzt zunächst die bekannten Werte anstelle der Formelzeichen ein.

  • Bild 3 für Logarithmus Beispiel

    3. Die 10000 Euro auf der rechten Seite bringt man durch : 10000 auf die linke Seite.

  • Bild 4 für Logarithmus Beispiel

    4. Die Terme werden berechnet.

  • Bild 5 für Logarithmus Beispiel

    5. Auf beiden Seiten wird der Zehnerlogarithmus angwendet. Dadurch wird aus 1,06 hoch x der Term x · lg1,06.

  • Bild 6 für Logarithmus Beispiel

    6. Die Werte für lg1,5 und lg1,06 werden eingegeben.

  • Bild 7 für Logarithmus Beispiel

    7. Die Formel wird auf n umgestellt.

  • Bild 8 für Logarithmus Beispiel

    8. Die Berechnung ergibt 6,95 Jahre Anlagedauer.