Dreieck berechnen mit dem Kosinussatz

Auf der Seite Dreieck berechnen mit dem Sinussatz wird erläutert, wie man unter Herleitung und Anwendung des Sinussatzes ein Dreieck berechnen kann, wenn bestimmte Informationen gegeben sind. Mit dem Sinussatz hat man allerdings das Problem, dass man ein Dreieck nicht exakt konstruieren kann, wenn folgende Informationen gegeben sind:

• Zwei Seiten und ein Winkel sind bekannt, jedoch ist der Winkel von beiden bekannten Seiten eingeschlossen
• Alle 3 Seiten sind bekannt, jedoch kein Winkel

Auf den Seiten Trigonometrie und Satz des Pythagoras wird erläutert, wie man die fehlenden Winkeln bzw. die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks berechnen kann. Damit man die Winkelfunktionen bei Dreiecken anwenden kann, die nicht rechtwinklig sind, benutzt man ein Hilfsmittel. Man zieht von der Seite c rechtwinklig eine Höhenlinie h zum Punkt C. So kann jedes Dreieck geteilt werden und als Ergebnis erhält man zwei rechtwinklige Dreiecke. Durch die Teilung von c entstehen die beiden Teilstücke d und e.

Wendet man den Satz des Pythagoras an, um für beide Dreiecke die Seite h zu ermitteln, entstehen folgende Formeln:

• Für das Dreieck mit der Seite a: h² = a² - d²
• Für das Dreieck mit der Seite b: h² = b² - e²

Betrachtet man die Winkelfunktionen, dann kann man für h in Bezug auf den Winkel α folgende Formel anwenden:

• h = b · sin α

Wandelt man diese Gleichung um, damit man h² ermittelt, erhält man folgende Gleichung:

• h² = b² · (sin α)²

Im nächsten Schritt kann man alle drei Formeln für h² gleichsetzen:

• b² · (sin α)² = a² - d² = b² - e² = h²

In diesem Beispiel wird Bezug auf den Winkel α genommen. Da mit dem Kosinussatz die fehlende Seitenlänge berechnet werden soll, wenn zwei Seiten bekannt sind und der bekannte Winkel von den bekannten Seiten eingeschlossen ist, dann geht man in diesem Beipsiel davon aus, dass die Seiten b und c die bekannten Seiten sind und Seite a gesucht wird. Daher ist b² - e² = h² unrelevant und man entfernt diese aus der Gleichung. Man erhält folgende Gleichung als Ausgangspunkt:

• b² · (sin α)² = a² - d²

In dieser Gleichung ist d ein unbekannter Wert. Daher wird im nächsten Schritt eine andere Gleichung gesucht, um d zu ermitteln. Hierbei betrachtet man folgende Gleichungen:

• d = c - e
• e = b · cos α

Da e auch unbekannt ist, setzt man b · cos α anstelle von e und erhält folgende Gleichung:

• d = c - b · cos α

Im nächsten Schritt setzt man c - b · cos α anstelle von d in die vorher ermittelte Gleichung b² · (sin α)² = a² - d². Das Ergebnis ist:

• b² · (sin α)² = a² - (c - b · cos α)²

Betrachtet man die rechte Klammer, erkennt man die 2. binomische Formel. Sie wird umgeformt und man erhält die Gleichung:

• b² · (sin α)² = a² - (c² - 2 · b · c · cos α + b² · (cos α)²)

Im nächsten Schritt entfernt man die Klammer durch ausmultiplizieren und erhält somit das Grundgerüst des Kosinussatzes.

• b² · (sin α)² = a² - c² + 2 · b · c · cos α - b² · (cos α)²

Nun kann man beginnen, die Gleichung umzustellen und Seite a bzw. a² zu ermitteln. Dabei geht man wie folgt vor:

• b² · (sin α)² = a² - c² + 2 · b · c · cos α - b² · (cos α)² | - a²
• b² · (sin α)² - a² = - c² + 2 · b · c · cos α - b² · (cos α)² | - b² · (sin α)²
• - a² = - c² + 2 · b · c · cos α - b² · (cos α)² - b² · (sin α)² | · -1
• a² = c² - 2 · b · c · cos α + b² · (cos α)² + b² · (sin α)²

So hat man die Gleichung schon mal auf a² umgestellt. Auf der rechten Seite der Gleichung ist die Möglichkeit, b² auszuklammern:

• a² = c² - 2 · b · c · cos α + b² · ((cos α)² + (sin α)²)

Aus dem trigonometrischem Pythagoras ist bekannt, das das Ergebnis von (cos α)² + (sin α)² =1 ist. Da b · 1 = b ist, kann (cos α)² + (sin α)² entfallen. Als Ergebnis erhält man:

• a² = c² - 2 · b · c · cos α + b²

Aus kosmetischen Gründen zieht man b² nach links und man erhält folgenden Kosisnussatz:

Möchte man die Seite a berechnen, wandelt man die Gleichung um und erhält folgenden Kosinussatz:

Somit hätte man bereits eine Formel für den Fall, dass die beiden Seiten b und c sowie der Winkel α bekannt sind, der Winkel jedoch von den bekannten Seiten eingeschlossen ist. Als nächstes stellt man die Gleichung erneut um, um eine Formel für den Winkel α zu erhalten, wenn alle drei Seiten bekannt sind, jedoch kein Winkel. Als Ergebnis erhält man folgende Gleichung:

Man kann den Kosinussatz auch in Bezug auf den Winkel β ermitteln. Hierbei gibt es lediglich einige kleine Änderungen:

• Der Winkel β wird von den Seiten a und c eingeschlossen. Daher wird davon ausgegangen, dass Seite b gesucht wird. Um die Höhe h zu ermittelt, ist deshalb die Gleichung h² = b² - e² relevant.
• Betrachtet man die Winkelfunktionen, kann man in Bezug auf den Winkel β die Formel h = a · sin β anwenden, um die Höhe h zu ermitteln. Wandelt man die Formel um, erhält man h² = a · (sin β)².
• Dadurch erhält man folgende Gleichung als Ausgangspunkt:
  a · (sin β)² = b² - e².
• Danach verfährt man wie beim Winkel α. Für e einen anderen Term einsetzen, die binomische Formel umformen, die Gleichung ausmultiplizieren und ausklammern, um b² zu ermitteln.

Als Ergebnis erhält man folgenden Kosinussatz:

Um die Seite b zu ermitteln, verwendet man folgende Gleichung:

Um cos β zu ermittelt, wird folgender Kosinussatz benutzt:

Auch in Bezug auf den Winkel γ kann ein Kosinussatz ermittelt werden. Dabei werden folgende Änderungen vorgenommen:

• Die Höhenlinie h wird von der Seite a zum Punkt A gezogen. Durch die Teilung von Seite a entstehen die Teilstrecken d und e.
• Der Winkel γ wird von den Seiten a und b eingeschlossen. Daher wird davon ausgegangen, dass Seite c gesucht wird. Um die Höhe h zu ermittelt, ist deshalb die Gleichung h² = c² - e² relevant.
• Betrachtet man die Winkelfunktionen, kann man in Bezug auf den Winkel γ die Formel h = a · sin β anwenden, um die Höhe h zu ermitteln. Wandelt man die Formel um, erhält man h² = b · (sin γ)².
• Dadurch erhält man folgende Gleichung als Ausgangspunkt:
  b · (sin γ)² = c² - e².

Danach verfährt man wie bei den anderen Winkeln und erhält am Ende folgenden Kosinussatz:

Um Seite c zu berechnen, verwendet man folgende Gleichung:

Mit folgender Gleichung kann man cos γ ermitteln: