Binomische Formeln
Beim Umstellen von Gleichungen ist es häufig von Vorteil, wenn man die binomischen Formeln kennt und anwendet. Es erleichtert insbesondere bei quadratischen Gleichungen die Arbeit, wenn man Terme ausmultiplizieren muss. Wenn man die Klammerrechnung und das Ausmultiplizieren beherrscht, braucht man die binomischen Formeln theoretisch nicht.
Praktisch erweisen sie sich dennoch als nützlich, da sie das Umstellen vereinfachen. Wenn man in einer Gleichung eine binomische Formel erkennt, braucht man nur die Regeln anzuwenden und kann die Klammer auflösen, ohne mit den herkömmlichen Rechenmethoden mühsam die Klammer auflösen zu müssen.
Es gibt insgesamt 3 binomische Formeln. Diese sind wie folgt:
- (a + b)² = a² + 2 · a · b + b² (1. Binomische Formel)
- (a - b)² = a² - 2 · a · b + b² (2. Binomische Formel)
- (a + b) · (a - b) = a² - b² (3. Binomische Formel)
Wenn nun in einer Gleichung eine binomische Formel vorhanden ist, dann kann man, ohne die üblichen Rechenregeln anwenden zu müssen, den Term einfach umstellen. Hat man z.B. einen Term wie (x + y) · (x - y), dann kann man hierfür x² - y² (3. Fall) verwenden. So hätte man die Zeit, die man für die Umstellung benötigt, erheblich verkürzt. Das kommt sehr häufig vor, z.B. wird zum Umstellen eine binomische Formel beim Kosinussatz angewendet. Nachfolgend eine Erläuterung über die Herleitung der drei Fälle.
1. Binomische Formel
Hierbei betrachtet man zunächst folgenden Term:
- (a + b)²
Um die Klammer aufzulösen, müssen beide Variablen jeweils mit sich selbst und mit der anderen Variable multipliziert werden. Dazu die einzelnen Rechenschritte:
- a · a = a²
- a · b = a · b
- b · a = a · b (Hier wurde zur Vereinfachung gemäß Vertauschungsgesetz b · a umgestellt, da a · b dasselbe ist wie b · a)
- b · b = b²
Nun erfolgt die Zusammenfassung:
- a² + a · b + a · b + b²
Da a · b + a · b dasselbe ist wie 2 · a · b, wird dieser Teil zusammengefasst und man hat die 1. Binomische Formel hergeleitet:
- (a + b)² = a² + 2 · a · b + b²
Die Malzeichen muss man nicht unbedingt angeben, daher wird es häufig in der Form geschrieben:
- (a + b)² = a² + 2ab + b²
2. Binomische Formel
Bei der 2. Form wird folgender Term betrachtet:
- (a - b)²
Erneut muss jede Variable mit sich selbst und mit der anderen Variable multipliziert werden, um die Klammer zu entfernen. Die Rechenschritte sind wie folgt:
- a · a = a²
- a · - b = - a · b
- - b · a = - a · b (Auch hier wurde gemäß Vertauschungsgesetzt - b · a in - a · b umgestellt)
- - b · - b = b²
Man fasst alles zusammen:
- a² - a · b - a · b + b²
Der Term - a · b - a · b wird in - 2 · a · b zusammengefasst und man erhält die 2. Binomische Formel:
- (a - b)² = a² - 2 · a · b + b²
Ohne Malzeichen wird es in folgender Form geschrieben:
- (a - b)² = a² - 2ab + b²
3. Binomische Formel
In der 3. Form wird folgender Term betrachtet:
- (a + b) · (a - b)
Diesmal hat man zwei Klammern. Die Rechenregeln sehen für diesen Fall vor, jede Variable mit der Variable in der anderen Klammer zu multiplizieren. Die Rechenschritte sind:
- a · a = a²
- a · - b = - a · b
- b · a = a · b (Anwendung des Vertauschungsgesetzes)
- b · - b = - b²
Die Zusammenfassung:
- a² - a · b + a · b - b²
Der Term - a · b + a · b hebt sich auf und wird entfernt und die 3. Binomische Formel wird gebildet:
- (a + b) · (a - b) = a² - b²