Pyramide berechnen
Eine Pyramide ist ein geometrischer Körper. Es hat eine Grundfläche, das aus einem Vieleck besteht. Häufig ist die Grundfläche ein Quadrat, ein Rechteck oder ein Dreieck. Die Gemeinsamkeit besteht darin, dass die Seiten der Grundfläche zu einem bestimmten Punk verlaufen, der über der Grundfläche liegt und so die Spitze der Pyramide bildet.
Ist die Grundfläche ein regelmäßiges Vieleck, spricht man von einer regelmäßigen Pyramide. Ansonsten ist es eine unregelmäßige Pyramide. Liegt die Spitze genau über dem Basismittelpunkt, ist die Pyramide gerade. Weicht die Spitze vom Basismittelpunkt ab, ist die Pyramide schief.
Dadurch, dass alle Seiten der Grundfläche zu einer gemeinsamen Spitze verlaufen, entstehen dreieckige Seitenflächen. Ist die Pyramide gerade, sind die Dreiecke gleichschenklig (mit 2 gleichlangen Seiten). Alle Seitenflächen ergeben zusammen die Mantelfläche.
Übersicht über verschiedene Arten von Pyramiden
Berechnungen an Pyramiden
Bei einer Pyramide werden häufig folgende Dinge berechnet:
- Grundfläche: Formelzeichen G
- Volumen: Formelzeichen V
- Höhe: Formelzeichen h
- Mantelhöhe: Formelzeichen m
- Kantenlänge: Formelzeichen k
- Mantelfläche: Formelzeichen M
Berechnung der Grundfläche G
Für die Berechnung der Grundfläche einer Pyramide gibt es keine einheitliche Formel. Denn, die Grundfläche kann vielerlei Formen haben, z.B. ein Rechteck, Quadrat, Trapez, Dreieck, regelmäßiges Vieleck.
Die Berechnung der Grundfläche wird trotzdem benötigt, um z.B. das Volumen einer Pyramide berechnen zu können. Daher sollte man generell Kenntnisse über Flächenberechnungen haben und mit herkömmlichen Methoden die Grundfläche berechnen. Bei einer quadratischen Grundfläche ist die Formel z.B. l · l, bei einer rechteckigen Grundfläche l · b.
Formel für Volumen einer Pyramide
Beispiel:
Länge (l): 100mm
Breite (b): 80mm
Höhe (h): 100mm
Gesucht: Volumen V
Berechnung für die Grundfläche: 100 · 80 = 8000mm²
Berechnung für das Volumen: 8000 : 3 · 100 = 266666,66mm³
Berechnung der Höhe einer Pyramide mit Winkelfunktionen
Für die Berechnung der Höhe gibt es mehrere Möglichkeiten. Eine Möglichkeit ist die Lösung anhand der Winkelfunktionen. Je nachdem, welche Längen und Winkel bekannt sind, kann man ein rechtwinkliges Dreieck in die Pyramide zeichnen und mit Hilfe der Winkelfunktionen lösen.
Formel für die Höhe, wenn das Volumen und die Grundfläche bekannt sind
Die Höhe kann auch berechnet werden, wenn die Grundfläche und das Volumen der Pyramide bekannt sind.
Beispiel:
Grundfläche (G): 8000mm²
Volumen (V): 266666,66mm³
Gesucht: Höhe h
Berechnung: 266666,66 · 3 : 8000 = 100mm
Berechnung der Kantenlänge und Mantelhöhe einer Pyramide mit Winkelfunktionen
Genauso wie die Höhe kann auch die Kantenlänge und die Mantelhöhe mit den Winkelfunktionen berechnet werden, sofern die notwendigen Informationen hierfür verfügbar sind. Die in die Pyramide eingezeichneten rechtwinkligen Dreiecke könnten beispielsweise wie folgt aussehen. In beiden Fällen sind die Hypotenusen zu berechnen.
Formel für die Kantenlänge und Mantelhöhe
Die Kantenlänge und die Mantelhöhe können auch mit diesen Formeln berechnet werden. Allerdings gelten die Formeln nur unter bestimmten Bedingungen.
- Die Kantenlänge kann berechnet werden, wenn die Mantelhöhe und die Breite bekannt sind und die Mantelhöhe genau mittig auf die Breite trifft.
- Die Mantelhöhe kann berechnet werden, wenn die Höhe und die Länge bekannt sind und die Höhe genau mittig auf die Länge trifft.
Beides trifft auf gerade Pyramiden mit einer quadratischen Grundfläche zu. Im Grunde wird der Satz des Pythagoras in etwas veränderter Form angewandt.
Beispiel:
Länge (l): 100mm
Breite (b): 80mm
Höhe (h): 100mm
Gesucht: Mantelhöhe m und Kantenlänge k
Berechnung für die Mantelhöhe: 100 · 100 + (100 · 100 : 4) = 12500, Wurzel aus 12500 = 111,80mm
Berechnung für die Kantenlänge: 111,80 · 111,80 + (80 · 80 :4) = 14100, Wurzel aus 14100 = 118,74mm
Berechnung der Mantelfläche einer Pyramide
Die Seitenflächen sind alle Dreiecke und können entweder mit den Winkelfunktionen oder mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden. Hat man es mit einer quadratischen, geraden Pyramide zu tun, kann die Formel Seitenlänge · Mantelhöhe : 2 · 4 benutzt werden. Die gesamte Oberfläche setzt sich aus Mantelfläche + Grundfläche zusammen.