Trapez: Berechnen des Flächeninhalts und weitere Längen
Ein Trapez gehört zu den speziellen Vierecken und hat mindestens zwei gegenüberliegende Seiten, die zueinander parallel verlaufen. Daher sind Parallelogramme gleichzeitig (spezielle) Trapeze. Sind die zueinander parallel verlaufenden Seiten gleich lang, könnte es genausogut z.B. ein Rechteck, ein Quadrat oder ein Rhombus sein. Diese Formen gelten ebenfalls als spezielle Trapeze.
Neben diesen speziellen Formen gibt es gleichschenklige, überschlagene, verschränkte oder rechtwinklige Trapeze. Bei einem "klassischen" Trapez sind die zueinander parallel verlaufenden Seiten unterschiedlich lang. Diese Seiten werden Grundseiten genannt, wobei die längere Seite als Basis dient.
Die Summe aller Innenwinkel beträgt 360°. Die Summe der benachbarten Winkel von α und δ ergibt 180°, ebenso die Summe der Winkel von β und γ.
![Trapez Trapez](typo3temp/fl_realurl_image/trapez-47.jpg)
Berechnungen am Trapez
Bei einem Trapez werden häufig folgende Dinge berechnet:
- Fläche: Formelzeichen A
- Höhe: Formelzeichen h
- Mittlere Länge: Formelzeichen m
- Seitenlänge a: Formelzeichen a
- Seitenlänge b: Formelzeichen b
- Seitenlänge c: Formelzeichen c
- Seitenlänge d: Formelzeichen d
- Diagonale e: Formelzeichen e
- Diagonale f: Formelzeichen f
- Winkel α
- Winkel β
- Winkel γ
- Winkel δ
Für die Berechnung benutzt man folgende Formeln:
Fläche A:
![Formel für Fläche von einem Trapez Formel für Fläche von einem Trapez](typo3temp/fl_realurl_image/formel-fuer-flaeche-von-einem-trapez-e6.jpg)
Beispiel:
Seitenlänge (a): 100 mm
Seitenlänge (c): 40 mm
Höhe (h): 50 mm
Mittlere Länge (m): 70 mm
Gesucht: Fläche A
Ergebnis mit der ersten Formel: (100 + 40) : 2 · 50 = 3500 mm²
Ergebnis mit der zweiten Formel: 70 · 50 = 3500 mm²
Höhe h:
![Formel für Höhe vom Trapez Formel für Höhe vom Trapez](typo3temp/fl_realurl_image/formel-fuer-hoehe-vom-trapez-dd.jpg)
Beispiel:
Fläche (A): 3500 mm²
Seitenlänge (a): 100 mm
Seitenlänge (b): 64,03 mm
Seitenlänge (c): 40 mm
Seitenlänge (d): 53,85 mm
Winkel α: 68,2°, sin α: 0,928485
Winkel β: 51,34°, sin β: 0,780866
Winkel γ: 128,66°, sin γ: 0,780866
Winkel: δ: 111,8°, sin δ: 0,928485
Gesucht: Höhe h
Ergebnis mit der ersten Formel: 2 · 3500 : (100 + 40) = 50 mm
Ergebnis mit der zweiten und dritten Formel: 64,03 · 0,780866 = 50 mm
Ergebnis mit der vierten und fünften Formel: 53,85 · 0,928485 = 50 mm
Mittlere Länge m:
![Formel für mittlere Länge beim Trapez Formel für mittlere Länge beim Trapez](typo3temp/fl_realurl_image/formel-fuer-mittlere-laenge-beim-trapez-da.jpg)
Beispiel:
Fläche (A): 3500 mm²
Seitenlänge (a): 100 mm
Seitenlänge (c): 40 mm
Höhe (h): 50 mm
Gesucht: Mittlere Länge m
Ergebnis mit der ersten Formel: (100 + 40) : 2 = 70 mm
Ergebnis mit der zweiten Formel: 3500 : 50 = 70 mm
Seitenlänge a:
![Formel für Seite a beim Trapez Formel für Seite a beim Trapez](typo3temp/fl_realurl_image/formel-fuer-seite-a-beim-trapez-d8.jpg)
Beispiel:
Fläche (A): 3500 mm²
Seitenlänge (c): 40 mm
Höhe (h): 50 mm
Mittlere Länge (m): 70 mm
Gesucht: Länge a
Ergebnis mit der ersten Formel: 2 · 3500 : 50 - 40 = 100 mm
Ergebnis mit der zweiten Formel: 70 · 2 - 40 = 100 mm
Seitenlänge c:
![Formel für Seite c beim Trapez Formel für Seite c beim Trapez](typo3temp/fl_realurl_image/formel-fuer-seite-c-beim-trapez-91.jpg)
Beispiel:
Fläche (A): 3500 mm²
Seitenlänge (a): 100 mm
Höhe (h): 50 mm
Mittlere Länge (m): 70 mm
Gesucht: Länge c
Ergebnis mit der ersten Formel: 2 · 3500 : 50 - 100 = 40 mm
Ergebnis mit der zweiten Formel: 70 · 2 - 100 = 40 mm
Diagonale e:
![Formel für Diagonale e beim Trapez Formel für Diagonale e beim Trapez](typo3temp/fl_realurl_image/formel-fuer-diagonale-e-beim-trapez-a6.jpg)
Beispiel:
Seitenlänge (a): 100 mm
Seitenlänge (b): 64,03 mm
Seitenlänge (c): 40 mm
Seitenlänge (d): 53,85
Winkel β: 51,34°, cos β: 0,624697
Winkel δ: 111,8°, cos δ: -0,371367
Ergebnis mit der ersten Formel: a² + b² = 14099,84, 2 · a · b · cos β = 7999,87
14099,84 - 7999,87 = 6099,97, Wurzel aus 6099,97 = 78,10 mm
Ergebnis mit der zweiten Formel: c² + d² = 4499,82, 2 · c · d · cos δ = -1599,85
4499,82 -- 1599,85 = 4499,82 + 1599,85 = 6099,67 (man beachte, -- ergibt +), Wurzel aus 6099,67 = 78,10 mm
Diagonale f:
![Formel für Diagonale f beim Trapez Formel für Diagonale f beim Trapez](typo3temp/fl_realurl_image/formel-fuer-diagonale-f-beim-trapez-f8.jpg)
Beispiel:
Seitenlänge (a): 100 mm
Seitenlänge (b): 64,03 mm
Seitenlänge (c): 40 mm
Seitenlänge (d): 53,85
Winkel α: 68,2°, cos α: 0,371367
Winkel γ: 128,66°, cos γ: -0,624697
Ergebnis mit der ersten Formel: a² + d² = 12899,82, 2 · a · d · cos α = 3999,54
12899,82 - 3999,54 = 8900,28, Wurzel aus 8900,28 = 94,34 mm
Ergebnis mit der zweiten Formel: b² + c² = 5699,84, 2 · b · c · cos γ = -3199,94
5699,84 -- 3199,94 = 5699,84 + 3199,94 = 8899,78 (man beachte, -- ergibt +), Wurzel aus 8899,78 = 94,34 mm
Seiten b, d, Winkel α, β, γ, δ
![Formeln für Seite b, d und Winkel Formeln für Seite b, d und Winkel](typo3temp/fl_realurl_image/formeln-fuer-seite-b-d-und-winkel-23.jpg)
Es gibt mehrere Möglichkeiten, die Seiten b, d und die Winkel α, β, γ und δ auszurechnen. Hierfür stellt man eine der Formeln um bzw. benutzt die Winkelfunktionen. Auf dem Bild sind Beispielformeln abgebildet. Weil die Berechnung einfach ist, wird auf eine Beispielberechnung verzichtet.