Trapez: Berechnen des Flächeninhalts und weitere Längen

Ein Trapez gehört zu den speziellen Vierecken und hat mindestens zwei gegenüberliegende Seiten, die zueinander parallel verlaufen. Daher sind Parallelogramme gleichzeitig (spezielle) Trapeze. Sind die zueinander parallel verlaufenden Seiten gleich lang, könnte es genausogut z.B. ein Rechteck, ein Quadrat oder ein Rhombus sein. Diese Formen gelten ebenfalls als spezielle Trapeze.

Neben diesen speziellen Formen gibt es gleichschenklige, überschlagene, verschränkte oder rechtwinklige Trapeze. Bei einem "klassischen" Trapez sind die zueinander parallel verlaufenden Seiten unterschiedlich lang. Diese Seiten werden Grundseiten genannt, wobei die längere Seite als Basis dient.

Die Summe aller Innenwinkel beträgt 360°. Die Summe der benachbarten Winkel von α und δ ergibt 180°, ebenso die Summe der Winkel von β und γ.

Trapez

Berechnungen am Trapez

Bei einem Trapez werden häufig folgende Dinge berechnet:

  • Fläche: Formelzeichen A
  • Höhe: Formelzeichen h
  • Mittlere Länge: Formelzeichen m
  • Seitenlänge a: Formelzeichen a
  • Seitenlänge b: Formelzeichen b
  • Seitenlänge c: Formelzeichen c
  • Seitenlänge d: Formelzeichen d
  • Diagonale e: Formelzeichen e
  • Diagonale f: Formelzeichen f
  • Winkel α
  • Winkel β
  • Winkel γ
  • Winkel δ

Für die Berechnung benutzt man folgende Formeln:

Fläche A:

Formel für Fläche von einem Trapez

Beispiel:

Seitenlänge (a): 100 mm

Seitenlänge (c): 40 mm

Höhe (h): 50 mm

Mittlere Länge (m): 70 mm

Gesucht: Fläche A

Ergebnis mit der ersten Formel: (100 + 40) : 2 · 50 = 3500 mm²

Ergebnis mit der zweiten Formel: 70 · 50 = 3500 mm²

Höhe h:

Formel für Höhe vom Trapez

Beispiel:

Fläche (A): 3500 mm²

Seitenlänge (a): 100 mm

Seitenlänge (b): 64,03 mm

Seitenlänge (c): 40 mm

Seitenlänge (d): 53,85 mm

Winkel α: 68,2°, sin α: 0,928485

Winkel β: 51,34°, sin β: 0,780866

Winkel γ: 128,66°, sin γ: 0,780866

Winkel: δ: 111,8°, sin δ: 0,928485

Gesucht: Höhe h

Ergebnis mit der ersten Formel: 2 · 3500 : (100 + 40) = 50 mm

Ergebnis mit der zweiten und dritten Formel: 64,03 · 0,780866 = 50 mm

Ergebnis mit der vierten und fünften Formel: 53,85 · 0,928485 = 50 mm

Mittlere Länge m:

Formel für mittlere Länge beim Trapez

Beispiel:

Fläche (A): 3500 mm²

Seitenlänge (a): 100 mm

Seitenlänge (c): 40 mm

Höhe (h): 50 mm

Gesucht: Mittlere Länge m

Ergebnis mit der ersten Formel: (100 + 40) : 2 = 70 mm

Ergebnis mit der zweiten Formel: 3500 : 50 = 70 mm

Seitenlänge a:

Formel für Seite a beim Trapez

Beispiel:

Fläche (A): 3500 mm²

Seitenlänge (c): 40 mm

Höhe (h): 50 mm

Mittlere Länge (m): 70 mm

Gesucht: Länge a

Ergebnis mit der ersten Formel: 2 · 3500 : 50 - 40 = 100 mm

Ergebnis mit der zweiten Formel: 70 · 2 - 40 = 100 mm

Seitenlänge c:

Formel für Seite c beim Trapez

Beispiel:

Fläche (A): 3500 mm²

Seitenlänge (a): 100 mm

Höhe (h): 50 mm

Mittlere Länge (m): 70 mm

Gesucht: Länge c

Ergebnis mit der ersten Formel: 2 · 3500 : 50 - 100 = 40 mm

Ergebnis mit der zweiten Formel: 70 · 2 - 100 = 40 mm

Diagonale e:

Formel für Diagonale e beim Trapez

Beispiel:

Seitenlänge (a): 100 mm

Seitenlänge (b): 64,03 mm

Seitenlänge (c): 40 mm

Seitenlänge (d): 53,85

Winkel β: 51,34°, cos β: 0,624697

Winkel δ: 111,8°, cos δ: -0,371367

Ergebnis mit der ersten Formel: a² + b² = 14099,84, 2 · a · b · cos β = 7999,87

14099,84 - 7999,87 = 6099,97, Wurzel aus 6099,97 = 78,10 mm

Ergebnis mit der zweiten Formel: c² + d² = 4499,82, 2 · c · d · cos δ = -1599,85

4499,82 -- 1599,85 = 4499,82 + 1599,85 = 6099,67 (man beachte, -- ergibt +), Wurzel aus 6099,67 = 78,10 mm

Diagonale f:

Formel für Diagonale f beim Trapez

Beispiel:

Seitenlänge (a): 100 mm

Seitenlänge (b): 64,03 mm

Seitenlänge (c): 40 mm

Seitenlänge (d): 53,85

Winkel α: 68,2°, cos α: 0,371367

Winkel γ: 128,66°, cos γ: -0,624697

Ergebnis mit der ersten Formel: a² + d² = 12899,82, 2 · a · d · cos α = 3999,54

12899,82 - 3999,54 = 8900,28, Wurzel aus 8900,28 = 94,34 mm

Ergebnis mit der zweiten Formel: b² + c² = 5699,84, 2 · b · c · cos γ = -3199,94

5699,84 -- 3199,94 = 5699,84 + 3199,94 = 8899,78 (man beachte, -- ergibt +), Wurzel aus 8899,78 = 94,34 mm

Seiten b, d, Winkel α, β, γ, δ

Formeln für Seite b, d und Winkel

Es gibt mehrere Möglichkeiten, die Seiten b, d und die Winkel α, β, γ und δ auszurechnen. Hierfür stellt man eine der Formeln um bzw. benutzt die Winkelfunktionen. Auf dem Bild sind Beispielformeln abgebildet. Weil die Berechnung einfach ist, wird auf eine Beispielberechnung verzichtet.