Pyramidenstumpf

Eine Pyramide ist ein geometrischer Körper, bei dem die Seiten der Grundfläche zu einem bestimmten Punkt verlaufen. Wenn der obere Bereich der Pyramide abgeschnitten wird und somit entfällt, entsteht ein Pyramidenstumpf. Den abgeschnittenen Teil der Pyramide nennt man Ergänzungspyramide.

Je nachdem wie die Seiten der Pyramide verlaufen, entsteht an der Stelle wo der Schnitt verläuft eine Fläche, die der Grundfläche ähnelt. Die Flächen an den Seiten sind bei einer Pyramide normalerweise Dreiecke. Durch den Schnitt entstehen viereckige Flächen.

Pyramidenstumpf

Berechnungen am Pyramidenstumpf

Bei einem Pyramidenstumpf werden meistens folgende Dinge berechnet:

  • Grundfläche: Formelzeichen G
  • Schnittfläche: Formelzeichen S
  • Volumen: Formelzeichen V
  • Höhe: Formelzeichen h
  • Mantelhöhe: Formelzeichen m
  • Kantenlänge: Formelzeichen k
  • Mantelfläche: Formelzeichen M

Berechnung der Grundfläche G und Schnittfläche S

Wie bei einer normalen Pyramide gibt es auch beim Pyramidenstumpf keine einheitliche Formel, um die Grundfläche oder die Schnittfläche zu berechnen. Diese Flächen können viele Formen sein, z.B. Quadrate, Rechtecke, Trapeze oder sonstige Vielecke.

Möchte man die Grundfläche oder die Schnittfläche berechnen, muss man sie mit herkömmlichen Methoden zur Flächenberechnung ausrechnen. Die einfachste Form ist z.B. ein Quadrat oder ein Rechteck. Die Berechnung der Flächen ist wichtig und wird benötigt, damit man z.B. das Volumen eines Pyramidenstumpfes berechnen kann.

Grundfläche und Schnittfläche vom Pyramidenstumpf

Formel zur Volumenberechnung beim Pyramidenstumpf

Formel für Volumen beim Pyramidenstumpf

Beispiel:

Länge (l1): 100mm

Breite (b1): 80mm

Länge (l2): 50mm

Breite (b2): 40mm

Höhe (h): 50mm

Gesucht: Volumen V

Berechnung für die Grundfläche: 100 · 80 = 8000mm²

Berechnung für die Schnittfläche: 50 · 40 = 2000mm²

Wurzel aus 8000 · 2000 = 4000

Berechnung für das Volumen: 50 : 3 · (8000 + 2000 + 4000) = 233333,33mm³

Berechnung der Höhe eines Pyramidenstumpfes mit Winkelfunktionen oder Satz des Pythagoras

Die Höhe kann auf verschiedene Art und Weise berechnet werden. Eine Möglichkeit ist, sich rechtwinklige Dreiecke im Pyramidenstumpf vorzustellen und die Winkelfunktionen anzuwenden. Hierfür wird eine Länge und ein Winkel benötigt. Eine andere Möglichkeit ist die Lösung mit dem Satz des Pythagoras. Dabei werden die beiden anderen Längen benötigt.

Rechtwinkliges Dreieck im Pyramidenstumpf
Weiteres rechtwinkliges Dreieck

Formel für die Höhe, wenn das Volumen sowie Grund- und Schnittfläche bekannt sind

Formel für die Höhe eines Pyramidenstumpfes

Man kann die Höhe auch berechnen, wenn das Volumen sowie Grund- und Schnittfläche bekannt sind.

Beispiel:

Grundfläche (G): 8000mm²

Schnittfläche (S): 2000mm²

Volumen (V): 233333,33mm³

Gesucht: Höhe h

Berechnung: 233333,33 · 3 : (8000 + 2000 + 4000) = 50mm

Berechnung der Kantenlänge und Mantelhöhe eines Pyramidenstumpfes

Die Mantelhöhe und die Kantenlänge können ebenfalls mit den Winkelfunktionen oder mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden, wenn die notwendigen Längen bzw. Winkelangaben verfügbar sind. Die in den Pyramidenstumpf eingezeichneten Dreiecke könnten wie nachfolgend abgebildet aussehen. Es wäre jeweils die Hypotenuse zu berechnen.

Kantenlänge eines Pyramidenstumpfes
Mantelhöhe eines Pyramidenstumpfes

Formel für die Kantenlänge und Mantelhöhe eines Pyramidenstumpfes

Formel für Kantenlänge eines Pyramidenstumpfes
Formel für Mantelhöhe eines Pyramidenstumpfes

Man kann die Kantenlänge und die Mantelhöhe auch mit diesen Formeln berechnen. Hier gelten allerdings einige Bedingungen.

  • Wenn die Mantelhöhe, die Länge der Grundfläche und die Länge der Schnittfläche bekannt sind, die Länge der der Schnittfläche parallel und genau mittig zur Länge der Grundfläche steht, kann die Formel angewendet werden um die Kantenlänge zu berechnen.
  • Wenn die Höhe, die Länge der Grundfläche und die Länge der Schnittfläche bekannt sind, kann die Mantelhöhe berechnet werden. Allerdings gilt auch hier, dass die Länge der Schnittfläche parallel und genau mittig zur Länge der Grundfläche stehen muss.

Beide Bedingungen treffen auf gerade Pyramiden mit einer quadratischen Grundfläche zu. Hier wird im Prinzip in etwas veränderter Form der Satz des Pythagoras in angewandt.

Beispiel:

Länge (l1): 100mm

Länge (l2): 50mm

Höhe (h): 50mm

Gesucht: Mantelhöhe m und Kantenlänge k

Berechnung für die Mantelhöhe: 50 · 50 + (100 - 50 : 2)² = 3125, Wurzel aus 3125 = 55,90mm

Berechnung für die Kantenlänge: 55,90 · 55,90 + (100 - 50 : 2)² = 3750, Wurzel aus 3750 = 61,24mm

Berechnung der Mantelfläche eines Pyramidenstumpfes

Für die Berechnung Mantelfläche gibt es keine einheitliche Formel, da die Seitenflächen unterschiedliche Vierecke sein können. Sie müssen mit den herkömmlichen Methoden berechnet werden. Die gesamte Oberfläche setzt sich zusammen aus Mantelfläche + Grundfläche + Schnittfläche (M + G + S).