Kegelstumpf
Eine Kegel ist ein geometrischer Körper mit einer runden Grundfläche, wobei der Seitenrand der Grundfläche zu einem bestimmten Punkt verläuft. Wird der obere Bereich des Kegels abgeschnitten und entfällt somit, entsteht ein Kegelstumpf. Den abgeschnittenen Teil des Kegels nennt man Ergänzungskegel.
Durch den Schnitt verändert sich gleichzeitig die Mantelfläche. Bei einem Kegel hat die Mantelfläche in abgewickelter Form 3 Ecken. Wickelt man einen Kegelstumpf ab, erhält man als Mantelfläche eine Form mit 4 Ecken.
Berechnungen am Kegelstumpf
Bei einem Kegelstumpf werden häufig folgende Dinge berechnet:
- Grundfläche: Formelzeichen G
- Schnittfläche: Formelzeichen S
- Volumen: Formelzeichen V
- Höhe: Formelzeichen h
- Mantelhöhe: Formelzeichen m
- Mantelfläche: Formelzeichen M
Berechnung der Grundfläche G und Schnittfläche S
Wie bei einem normalen Kegel ist auch beim Kegelstumpf keine einheitliche Formel vorhanden, um die Grundfläche oder die Schnittfläche zu berechnen. Diese Flächen können Kreise, Ellipsen oder eine andere geschlossene Formen sein.
Ist die Grundfläche bzw. Schnittfläche ein Kreis, ist die Formel Durchmesser² · Pi : 4. Sind die Flächen Ellipsen oder andere geschlossene Formen, muss man sie mit den hierfür notwendigen Rechenmethoden ausrechnen.
Formel zur Volumenberechnung beim Kegelstumpf eines Kreiskegels
Beispiel für einen Kreiskegel:
Durchmesser Grundfläche (D): 100mm
Durchmesser Schnittfläche (d): 50mm
Höhe (h): 50mm
Gesucht: Volumen V
Berechnung: 50 · 3,14 : 12 · (100² + 50² + 100 · 50) = 228958,33mm³
Berechnung der Höhe und Mantelhöhe eines Kegelstumpfes
Die Höhe und die Mantelhöhe können mit den Winkelfunktionen oder mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden, wenn die notwendigen Längen bzw. Winkelangaben verfügbar sind. Die in den Kegelstumpf eingezeichneten Dreiecke könnten wie nachfolgend abgebildet aussehen.
Formel für die Höhe eines Kreiskegelstumpfes, wenn das Volumen sowie die Durchmesser bekannt sind
Man kann die Höhe auch berechnen, wenn das Volumen sowie die beiden Durchmesser bekannt sind.
Beispiel:
Volumen (V): 228958,33mm³
Durchmesser für die Grundfläche (D): 100mm
Durchmesser für die Schnittfläche (d): 50mm
Gesucht: Höhe h
Berechnung: 228958,33 · 12 : ((100 · 100 + 50 · 50 + 100 · 50) · 3,14) = 50mm
Formel für die Mantelhöhe eines Kreiskegelstumpfes
Wenn die Höhe sowie die beiden Durchmesser bekannt sind, kann die Mantelhöhe berechnet werden.
Beispiel:
Höhe (h): 50mm
Durchmesser der Grundfläche (D): 100mm
Durchmesser der Schnittfläche (d): 50mm
Gesucht: Mantelhöhe m
Berechnung: 50 · 50 + (100 - 50 : 2)² = 3125, Wurzel aus 3125 = 55,90mm
Berechnung der Mantelfläche eines Kreiskegelstumpfes
Die gesamte Oberfläche setzt sich zusammen aus Mantelfläche + Grundfläche + Schnittfläche (M + G + S). Die Mantelfläche eines Kegelstumpfes von einem Kreiskegel kann mit einer Formel berechnet werden. Hierfür muss die Mantelhöhe sowie die beiden Durchmesser bekannt sein.
Beispiel:
Durchmesser der Grundfläche (D): 100mm
Durchmesser der Schnittfläche (d): 50mm
Mantelhöhe (m): 50mm
Gesucht: Mantelfläche M
Berechnung: 50 · 3,14 : 2 · (100 + 50) = 11775mm²