Darstellung der Winkelfunktionen im Einheitskreis

Ein rechtwinkliges Dreieck wird durch die Punkte A, B und C gebildet, wobei der rechte Winkel (90°) beim Punkt C liegt. Der Winkel Alpha liegt beim Punkt A, der Winkel Beta beim Punkt B. Die Seiten werden jeweils in Kleinbuchstaben so benannt, wie sie den Punkten A, B und C gegenüber liegen. Das bedeutet, die Seite, die gegenüber von Punkt C liegt, wird c benannt. Die gegenüber dem Punkt A liegende Seite wird a benannt, die gegenüber dem Punkt B liegende Seite b. Alle drei Winkel ergeben zusammen stets 180°. Das bedeutet, dadurch dass die Größe des rechten Winkels bekannt ist (90°), hat man die Größe von den beiden anderen Winkeln, sobald eine bekannt ist. Wenn z.B. β 70° ist, dann ist α 20° (180 - 90 - 70 = 20).

Die Seiten a, b und c hat man benannt und sie werden in Formeln wie folgt benutzt:

Die längste Seite ist immer c und wird Hypotenuse genannt.
Die Seite a ist die gegenüber vom Winkel α liegende Seite und wird daher Gegenkathete genannt.
Die Seite b ist die am Winkel α anliegende Seite und wird daher Ankathete genannt.

Der Kern der Winkelfunktionen ist, dass man durch die Angabe einer Seitenlänge und des Winkels α alle übrigen Seitenlängen berechnen kann, da sie in einem Verhältnis zueinander stehen. Warum das so ist, wird durch den Einheitskreis im kartesischen Koordinatensystem verdeutlicht.

1. Im kartesischen Koordinatensystem gibt es eine X- und Y-Achse. Der Mittelpunkt ist 0. Bei der X-Achse sind die positiven Zahlen rechts vom Null, links die negativen Zahlen. Bei der Y-Achse sind die positiven Zahlen oberhalb von Null, unterhalb die negativen Zahlen.
2. Im nächsten Schritt vergrößern wir das Koordinatensystem und legen darauf mittig einen Kreis mit einem Radius von 1. Dadurch berührt der Kreis bei beiden Achsen jeweils bei +1 und -1.
3. Nun zeichnen wir einen rechtwinkligen Dreieck mit einem beliebigen Winkel α. Die erste Erkenntnis ist: Die Hypotenuse c ist, egal wie groß α ist, immer 1. Selbst wenn wir α vergrößern oder verkleinern, bleibt die Länge von Seite c immer 1.
4. Die nächste Erkenntnis ist: Vergrößern wir den Winkel α, vergrößert sich vorerst auch die Länge von a. Gleichzeitig verkleinert sich die Länge von b.
5. Nun ist Phantasie gefordert. Der Winkel α = 90°. Die Seiten a und b sind nicht mehr zu erkennen, obwohl sie vorhanden sind. Der Grund ist: Die Seite a ist genauso lang wie Seite c. Die Seite b dagegen hat die Länge 0.
6. Umgekehrt sieht es bei einem Winkel α = 0° aus. In dem Fall ist die Länge von b identisch wie c. Die Länge von Seite a ist dafür 0.
7. Genauso verhält es sich bei α = 180°. Auch hier ist die Seite b identisch wie Seite c. Die Länge von a ist 0. Der Unterschied zu α = 0° besteht jedoch darin, dass die Seiten b und c im negativen Bereich der X-Achse liegen.
8. Bei α = 270° ist es wie bei 90°. Seite a ist genauso lang wie Seite c. Die Länge von b ist 0. Die Seiten a und c liegen diesmal im negativen Bereich der Y-Achse. Eine Erkenntnis zum Schluss: Seite a und b können maximal identisch wie c sein, jedoch nie größer als c.

Bezeichnung der Seitenverhältnisse mit Sinus, Kosinus und Tangens in der Trigonometrie

Durch die Darstellung im Einheitskreis wird deutlich, dass die Seitenlängen a, b und c, abhängig vom Winkel α, in einem direkten Verhältnis zueinander stehen und daher mathematisch berechnet werden können. Hierfür hat man Gleichungen entwickelt und das Verhältnis der Seiten zueinander wurden wie folgt benannt:

Sinus (sin): Ist das Verhältnis der Gegenkathete zur Hypotenuse.
Kosinus (cos): Ist das Verhältnis der Ankathete zur Hypotenuse.
Tangens (tan): Ist das Verhältnis der Gegenkathete zur Ankathete.

Um zu verdeutlichen, dass das Verhältnis von sin, cos und tan jeweils vom Winkel α abhängt, wird in Formeln das Zeichen α angehängt. Daher wird in Formeln für die Angabe des Verhältnisses sin α, cos α und tan α benutzt. Was genau sin α, cos α und tan α in der Trigonometrie bedeuten, wird in den nachfolgenden Bildergalerien gezeigt.

Sinus (sin α)

1. Mit Sinus (sin α) wird das Verhältnis zwischen der Hypotenuse (c) und der Gegenkathete (a) in Abhängigkeit zum Winkel α angegeben.
2. Wenn man bei α = 0° anfängt, dann sieht man, dass die Seite a die Länge von 0 hat. Daher ist sin α ebenfalls 0. Das Verhältnis zwischen a und c in Abhängigkeit zum Winkel α wird im nächsten Schritt deutlich.
3. Vergrößert man den Winkel auf α = 30°, sieht man, ist die Seite a halb so lang ist wie Seite c. Daher ist sin α = 0,5, was soviel wie 50% oder halbe Länge von Seite c bedeutet. Es ist egal wie lang c ist, bei α = 30° ist a immer halb so lang.
4. Bei α = 60° ist sin α = 0,866 (Nachkommastellen gerundet). Das bedeutet, bei α = 60° hat die Seite a immer 86,6% der Länge von Seite c.
5. Bei α = 90° ist es wieder interessant zu sehen, dass die Seite a identisch wie Seite c ist. Daher ist sin α = 1,0, was soviel bedeutet wie 100% der Länge von Seite c.
6. Bei α = 120° ist es wieder wie bei 60°. Seite a hat 86,6% der Länge von Seite c, daher ist sin α = 0,866.
7. Bei α = 150° ist es wiederum wie bei 30°. Seite a ist halb so lang wie Seite c und sin α = 0,5.
8. Bei α = 180° ist es wieder wie bei 0°. Seite a hat die Länge 0.
9. Ist α = 210°, ist es wieder interessant zu beobachten. Seite a ist zwar halb so lang wie Seite c, Seite a befindet sich jedoch im negativen Bereich der Y-Achse und somit ist das Verhältnis negativ zu Seite c. Daher ist sin α = -0,5.
10. Ähnlich verhält es sich, wenn α = 240° ist. Daher ist sin α = -0,866 und ebenfalls negativ.
11. Bei α = 270° ist die Seite a wieder genauso lang wie c. Jedoch gilt auch hier, dass das Verhältnis negativ ist. Daher ist sin α = -1,0.
12. Bei 300° ist es im Grunde wie bei 240° und sin α = -0,866.
13. Bei 330° ist es wie bei 210° und sin α = -0,5.
14. Bei 360° ist man wieder in der Ursprungsposition wie bei α = 0°.

Kosinus (cos α)

1. Mit Kosinus (cos α) wird das Verhältnis zwischen der Hypotenuse (c) und der Ankathete (b) in Abhängigkeit zum Winkel α angegeben.
2. Wenn man bei α = 0° anfängt, dann sieht man, dass die Seite b genauso lang wie Seite c ist (anders als Seite a beim Sinus).
3. Vergrößert man den Winkel auf α = 30°, dann sieht man, dass die Seite b 86,6% der Länge von c hat. Daher ist cos α = 0,866.
4. Bei α = 60° ist cos α = 0,5. Das bedeutet, bei α = 60° ist die Seite b immer halb so lang oder anders ausgedrückt, hat 50% der Länge von Seite c.
5. Bei α = 90° ist es schön zu sehen, dass die Seite b die Länge 0 hat. Daher ist cos α = 0,0.
6. Bei α = 120° ist es ähnlich wie bei 60°. Seite b hat die Hälfte der Länge von Seite c. Die Seite b befindet sich jedoch im negativen Bereich der X-Achse und somit ist das Verhältnis zu Seite c negativ. Daher ist cos α = -0,5.
7. Bei α = 150° ist es wie bei 30°. Auch hier ist der Unterschied, dass b immer noch negativ ist. Daher ist cos α = -0,866.
8. Bei α = 180° ist es wieder wie bei 0°. Seite b ist genauso lang wie Seite c, jedoch im negativen Bereich. Daher ist cos α = -1,0.
9. Bei α = 210° ist es im Grunde wie bei α = 150°, daher ist cos α = -0,866.
10. Die Seite b verhält sich bei α = 240° wie bei α = 120°. Daher ist cos α = -0,5.
11. Bei α = 270° hat die Seite b wieder die Länge 0 und cos α = 0,0.
12. Bei α = 300° befindet sich die Seite b wieder im positiven Bereich der X-Achse und ist halb so lang wie Seite c, daher ist cos α = 0,5.
13. Bei 330° ist es wie bei α = 30° und cos α = 0,866.
14. Bei 360° ist man wieder in der Ursprungsposition wie bei α = 0°.

Tangens (tan α)

1. Mit Tangens (tan α) wird das Verhältnis der Gegenkathete (a) zur Ankathete (b) in Abhängigkeit zum Winkel α angegeben.
2. Fängt man bei α = 0° an, dann sieht man, dass die Seite a die Länge 0 hat. Somit ist tan α = 0.
3. Wird der Winkel auf α = 30° erweitert, dann sieht man, dass die Seite a 57,7% der Länge von b hat. Daher ist tan α = 0,577.
4. Bei α = 60° ist die Seite a 173,2% so lang wie Seite b. Daher ist tan α = 1,732.
5. Bei α = 90° ist eine Besonderheit. Denn, nun ist die Länge von a nicht definierbar, weil die Länge von b = 0 ist. Seite a könnte theoretisch jeden beliebigen Wert haben und ist daher nicht definierbar.
6. Bei α = 120° ist ähnlich wie bei 60°. Allerdings muss man jetzt genau aufpassen. Denn, tan α gibt das Verhältnis von a zu b an. Auch wenn die Seite a sich im positiven Bereich der Y-Achse befindet, ist tan α = -1,732 und somit negativ. Denn, das Verhältnis zu b ist entscheidend und die ist negativ.
7. Bei α = 150° ist es wie bei 30°. Auch hier gilt, dass es auf das Verhältnis zu b ankommt. Daher ist tan α = -0,577.
8. Bei α = 180° ist es wieder wie bei 0°. Seite a hat die Länge 0 und tan α = 0.
9. Bei α = 210° ist es im Grunde wie bei α = 150°. Aber auch hier muss man aufpassen und stets das Verhältnis zu b berücksichtigen. Und die ist mit tan α = 0,577 postitiv.
10. Die Seite b verhält sich bei α = 240° wie bei α = 120°. Auch hier gilt, dass das Verhältnis zu b positiv ist. Daher ist tan α = 1,732.
11. Bei α = 270° ist die Länge von a wieder undefinierbar, da Seite b die Länge von 0 hat und somit a theoretisch jeden beliebigen Wert haben könnte.
12. Bei α = 300° verhält es wie bei α = 240° und tan α = -1,732.
13. Bei 330° ist es wie bei α = 210° und tan α = -0,577.
14. Bei 360° ist man wieder in der Ursprungsposition wie bei α = 0°.

Zusammenfassen der Winkelfunktionen und Formeln bilden

Zusammenfassend kann man sagen, dass man abhängig vom Winkel α, mit Sinus und Kosinus berechnen kann, wie lang die Seite a (Gegenkathete) und b (Ankathete) im Verhältnis zu c (Hypotenuse) ist. Mit Tangens kann man bestimmen, wie lang die Seite a im Verhältnis zu b ist. Daraus lassen sich folgende Formeln ableiten:

Gegenkathete = Hypotenuse · sin α
Ankathete = Hypotenuse · cos α
Gegenkathete = Ankathete · tan α

Bezogen auf das abgebildete Dreieck bedeutet das:

a = c · sin α
b = c · cos α
a = b · tan α

Wenn man die Hypotenuse berechnen will, muss man, je nachdem welche Seite bekannt ist, eine von den ersten beiden Formeln umstellen. Daraus bildet man folgende Formeln:

Hypotenuse = Gegenkathete : sin α
Hypotenuse = Gegenkathete : cos α

Bezogen auf das abgebildete Dreieck bedeutet das:

c = a : sin α
c = a : cos α

Ermitteln von sin α, cos α und tan α

In den Bildergalerien wurde z.B. gezeigt, dass sin α bei einem Winkel von α = 30° einen Wert von 0,5 hat. Eine gute Frage ist, wie kommt man denn nun auf den Wert? Hierbei gibt es mehrere Möglichkeiten. Wenn z.B. zwei Seiten bekannt sind, dann braucht man nur die Formeln umstellen. Daraus resultieren folgende Gleichungen:

sin α = Gegenkathete : Hypotenuse
cos α = Ankathete : Hypotenuse
tan α = Gegenkathete : Ankathete

Bezogen auf das abgebildete Dreieck bedeutet das:

sin α = a : c
cos α = b : c
tan α = a : b

Was macht man aber, wenn nur eine Seite und der Winkel α bekannt ist? Der Verlauf der Winkelfunktionen kann zwar grafisch dargestellt werden, zum Ablesen von konkreten Werten ist das jedoch zu ungenau. Früher wurden häufig Tabellenbücher benutzt und die Werte daraus abgelesen. Es sind schließlich konstante Werte. Beispielsweise ist sin α bei einem Winkel von α = 30° immer 0,5. Es gibt natürlich auch sehr aufwendige Methoden, sin α, cos α und tan α zu berechnen. Allerdings ist das heutzutage nicht mehr nötig. Tippt man in den Taschenrechner den Winkel ein und drückt danach die SIN-, COS- oder TAN-Taste, dann erhält man den Wert.

Umwandeln von sin α, cos a oder tan α und ermitteln des Winkels α

Zunächst einmal muss man sich immer verdeutlichen, dass sin α, cos α oder tan α nicht den Wert des Winkels α darstellen. Wenn z.B. der Winkel α = 30° ist, dann ist sin α = 0,5 und stellt nur das Verhältnis der Gegenkathete zur Hypotenuse dar. Wenn es jedoch möglich ist, nur durch die Angabe des Winkels α den Wert von sin α, cos α oder tan α zu ermitteln, dann muss es ja auch einen Weg rückwärts geben. Nämlich, den Winkel durch die Angabe von sin α, cos α oder tan α zu ermitteln. Schließlich erhält man z.B. durch die Gleichung sin α = Gegenkathete : Hypotenuse lediglich den Wert sin α und nicht den Wert vom Winkel α. Häufig möchte man jedoch, wenn zwei Seiten bekannt sind, den dazugehörigen Winkel ermitteln.

Auch hier gilt, dass man früher häufig Tabellenbücher benutzte. Genauso wie man die Werte von sin α, cos α und tan α auslesen konnte, konnte man durch die dazugehörigen Werte den Winkel α ermitteln. Man kann auch den Winkel α durch aufwendige Berechnungen ermitteln. Aber das ist heutzutage nicht mehr notwendig. Genauso wie man über den Taschenrechner sin α, cos α und tan α ermitteln kann, kann man den Winkel α ermitteln. Häufige Vorgehensweise hier: Man tippt den Wert von sin α, cos α oder tan α ein, drückt die SHIFT-Taste und drückt danach, je nachdem was man eingegeben hat, die SIN-, COS- oder TAN-Taste und man erhält den Wert des Winkels α.

Anwenden der Winkelfunktionen auf den Winkel β

Bisher hat man lediglich den Winkel α berücksichtigt. Dadurch, dass die Winkelsumme eines Dreiecks immer 180° ist, der Wert des rechten Winkels bekannt ist (90°), hat man automatisch den Wert von β, wenn man den Wert von α hat (180 - 90 - α = β). Bei den Winkelfunktionen kann auch mit dem Wert von β gearbeitet werden. Es ist egal, ob der Winkel stumpf oder spitz ist. Die Formeln bleiben wie gehabt.

Der einzige Unterschied ist, dass in den Formeln die Seiten a und b vertauscht werden. Denn, wenn man statt mit α mit dem Winkel β arbeitet, dann ist die am Winkel anliegende Seite nicht mehr b, sondern a, die Seite, die dem Winkel gegenüberliegt ist b. Die bisher benannten Formeln müssen daher bei der Berechnung mit dem Winkel β wie folgt umgewandelt werden:

b = c · sin β (Gegenkathete = Hypotenuse · sin β)
a = c · cos β (Ankathete = Hypotenuse · cos β)
b = a · tan β (Gegenkathete = Ankathete · tan β)
c = b : sin β (Hypotenuse = Gegenkathete : sin β)
c = b : cos β (Hypotenuse = Gegenkathete : cos β)
sin β = b : c (sin β = Gegenkathete : Hypotenuse)
cos β = a : c (cos β = Ankathete : Hypotenuse)
tan β = b : a (tan β = Gegenkathete : Ankathete)