Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme

Eine Gleichung ist eine Formel, bei der durch das Gleichheitszeichen (=) symbolisiert wird, dass die linke Seite dem Wert der rechten Seite entspricht. Häufig muss man Gleichungen umstellen, damit man den Wert für eine Variable, was auch immer das sein mag, berechnen kann. Es gibt verschiedene Arten von Gleichungen und man hat verschiedene Methoden entwickelt, um sie zu lösen. Zwei bekannte Arten sind:

• Lineare Gleichungen
• Lineare Gleichungssysteme

Um die lineare Gleichung lösen zu können, wird die Äquivalenzumformung angewendet. Als Ergebnis erhält man die Lösungsmenge, die anstelle der Variable (x) eingesetzt werden kann. Die grundsätzliche Vorgehensweise wird dabei auf Gleichungen umstellen erklärt. Folgendes ist beim Ermitteln der Lösungsmenge zu beachten:

• Bei der Äquivalenzumformung addiert, subtrahiert, dividiert oder multipliziert man jeweils beide Seiten mit einer Zahl oder einem Term.
• Multiplikation oder Division durch Null ist nicht erlaubt.
• Quadrieren der beiden Seiten ist ebenfalls nicht erlaubt.
• Eine lineare Gleichung hat üblicherweise genau eine Lösung. In Ausnahmefällen kann es vorkommen, dass man keine oder unendlich viele Lösungen hat.
• Die Lösungsmenge mit einer Lösung wird z.B. in der Form L = {5} geschrieben (5 stellt Wert den Wert der Variable dar).
• Eine Lösungsmenge mit keiner Lösung schreibt man in der Form L = { }, was so viel wie "leere Menge" bedeutet.
• Lösungsmengen mit unendlich vielen Lösungen wären z.B. L = {ℝ} oder L = {ℚ}.
• Die Menge aller Zahlen, die für eine Lösung vorgesehen sind bzw. zur Verfügung stehen, nennt man Grundmenge. Die Grundmenge wird z.B. in der Form G = {ℝ} geschrieben.
• Die Menge aller Zahlen aus der Grundmenge, die zum Einsetzen in die Terme anstelle der Variable (x) vorgesehen sind, nennt man Definitionsmenge, z.B. D = {ℚ}. Soll z.B. eine Zahl ausgeschlossen werden, schreibt man das in der Form D = {ℚ\0}.
• Man kann eine lineare Gleichung grafisch darstellen. Weil eine Darstellung gerade Linien ergibt, sprich linear verläuft, hat man sie dementsprechend benannt.

Für die Lösungsmenge trifft bei linearen Gleichungssystemen im Grunde dasselbe zu wie bei linearen Gleichungen.

• Da lineare Gleichungssysteme aus mindestens 2 linearen Gleichungen und 2 Variablen bestehen, muss das bei der Angabe der Lösungsmenge berücksichtigt werden. Die Lösungsmenge wird in der Form L = {(x;y)} angegeben, z.B. L = {5;8}. Häufig auch mit einer zusätzlichen runden Klammer in der Form L = {(5;8)}. Die Werte für die Variablen werden alphabetisch angeordnet. In diesem Beispiel ist x = 5 und y = 8.
• Um die Lösungsmenge zu berechnen, gibt es mehrere Verfahren:
  • Lineares Gleichungssystem mit Additionsverfahren lösen
  • Lineares Gleichungssystem mit Gleichsetzungsverfahren lösen
  • Lineares Gleichungssystem mit Einsetzungsverfahren lösen

Welches Verfahren benutzt wird, spielt übrigens keine Rolle. Alle 3 Verfahren führen zum selben Ziel. Je nach Vorliebe kann man also ein Verfahren aussuchen und benutzen. Alle 3 Verfahren haben gemeinsam, dass eine Variable aus der Gleichung entfernt wird, um den Wert für die andere Variable zu ermitteln. Hat man den Wert einer Variable ermittelt, kann man ohne Probleme den Wert der zweiten Variable ermitteln.