Kathetensatz des Euklid
Der Kathetensatz des Euklid ist eine Möglichkeit, mit der man fehlende Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks berechnen kann. Es ist eine vom Satz des Pythagoras abgeleitete Formel.
Wie beim Satz des Pythagoras bilden die beiden Katheten a und b den rechten Winkel. Sie können ruhig vertauscht werden, für die Berechnung spielt das keine Rolle. Die längste Seite c ist die Hypotenuse.
Beim Kathetensatz des Euklid wird c getrennt, so dass die Längen q und p entstehen. Die Teilung erfolgt entlang der Linie h, die die Höhe darstellt. Die Seitenlängen q und h bilden einen rechten Winkel, ebenso die Seitenlängen p und h.
Durch die Teilung von c wird auch die Fläche c² geteilt, so dass zwei Rechtecke entstehen, die aus q · c und p · c gebildet werden. Der Kathetensatz des Euklid besagt nun folgendes:
- Die Quadrate der Katheten a und b sind in der Fläche genauso groß wie die Rechtecke, die sich durch die anliegenden Hypotenusenausschnitte q · c und p · c ergeben. In diesem Beispiel ist also a² genauso groß wie die Fläche aus q · c und b² ist genauso groß wie Fläche aus p · c.
Formeln für den Kathetensatz
Daraus ergeben sich folgende Formeln:
Möchte man die Seitenlängen a oder b ermitteln, braucht man von a² bzw. b² lediglich die Wurzel zu ziehen. Dementsprechend ändern sich die Formeln wie folgt:
Beispiel um die Seitenlänge a mit dem Kathetensatz des Euklids zu berechnen
Folgende Längen sind bekannt:
q = 3
c = 9
Gesucht ist die Länge a.
a² = q · c
a² = 3 · 9
a² = 27
Wurzel aus 27 ergibt 5,196 für die Seitenlänge a.
Analog dazu kann mit der Seitenlänge b verfahren werden.