Formeln umstellen

In der Mathematik hat man es häufig mit Formeln (Gleichungen) zu tun. Dabei steht man oft vor der Aufgabe, eine Formel umstellen zu müssen. Das passiert deshalb häufig, da in den Formelsammlungen für einen bestimmten Bereich meistens eine Grundformel angegeben ist. Beispielsweise wäre eine Grundformel für Kreisberechnungen:

d · π = U

Der Buchstabe d ist das Formelzeichen für Durchmesser. Die Kreiszahl Pi (π) steht für eine Konstante Zahl (3,14). U ist das Formelzeichen für den Umfang. Mit dieser Formel kann man also den Umfang eines Kreises berechnen. Das verdeutlicht der Buchstabe U mit dem vorangestellten Gleichheitszeichen (= U). Was macht man aber, wenn der Umfang bekannt ist und man daraus den Durchmesser ableiten möchte? In dem Fall muss man die Formel umstellen, damit man als Ergebnis den Durchmesser hat (= d). Danach kann man die Gleichung lösen. Eine umgestellte Formel um d zu berechnen wäre:

U : π = d

Eine gute Frage ist jetzt: Wie kommt man dazu? Hier gibt es unzählige Methoden zur Erklärung. Am häufigsten wird dabei eine Gleichung mit einer alten Waage verglichen, die man früher auf Märkten benutzte. Nachfolgend einige Bildergalerien, wie man eine Formel mit einer Waage vergleichen kann und das Verständnis dafür dabei hilft, eine Formel umzustellen.

Vergleich einer Waage mit einer Formel

1. Man betrachtet zunächst eine Waage mit zwei Waagschalen. Auf der linken Seite sind 2 x 5 kg, auf der rechten Seite 10 kg.
2. Zur Vereinfachung werden die Halter und die Ketten für die Waagschale entfernt. In der Mitte ist das Gleichheitszeichen und symbolisiert, dass das, was auf der linken Seite ist, dem entspricht, was auf der rechten Seite ist. Wie bei einer Formel.
3. Wenn man auf der linken Seite die beiden Gewichte a 5 kg entfernt und einen 10 kg Sack Tomaten in die Waagschale wirft, dann hält sich die Waage weiterhin.
4. Die 10 kg können auch aufgeteilt werden in 5 kg Tomaten und 5 kg Äpfel.
5. Auch das Gewicht von 10 kg kann in zwei 5 kg Gewichte aufgeteilt werden.
6. Bei einer Formel hat man es aber nicht nur mit Gewichten zu tun. Wenn 5 kg Tomaten 10 Euro kosten, 5 kg Äpfel 5 Euro kosten, könnte man in die rechte Waagschale auch 15 Euro legen. Die Waage würde sich weiterhin halten.
7. Jetzt wird es kreativ. Auf der linken Seite hat man ein vereinfachtes Pizza-Rezept. Was würde das ergeben? Eine Pizza. Auch das kann eine Formel sein.
8. Bestellt man 3 Pizzen für 5 Euro pro Pizza, dann hat man als Gegenleistung 15 Euro zu bezahlen. Man sieht also, dass eine Formel alles mögliche sein kann. Wichtig ist, dass das was auf der linken Seite ist, dem Wert entspricht, was auf der rechten Seite ist.

Das Grundprinzip beim Formel umstellen

1. Beispiel 1: Auf der linken Seite der Waage sind 5 kg Tomaten und 5 kg Äpfel. Das ergibt einen Gegenwert von 10 kg auf der rechten Seite.
2. Beispiel 1: Die Formel lautet daher: 5 kg Tomaten + 5 kg Äpfel = 5 kg Ware + 5 kg Ware, was 10 kg entsprechen würde.
3. Beispiel 1: Wenn man auf der linken Seite die Äpfel wegnimmt, dann muss man die 5 kg auch auf der rechten Seite der Waage wegnehmen. Schließlich sind 5 kg Tomaten nicht 10 kg.
4. Beispiel 1: Nun kommt die Formulierung der Formel. Auf der linken Seite heben sich + 5 kg Äpfel und - 5 kg Äpfel auf. Auf der rechten Seite heben sich + 5 kg Ware und - 5 kg Ware auf.
5. Beispiel 1: Übrig bleibt die Formel: 5 kg Tomaten = 5 kg Ware.
6. Beispiel 2: Das nächste Beispiel. Man geht davon aus, dass 5 kg Tomaten 10 Euro kosten, 5 kg Äpfel kosten 5 Euro.
7. Beispiel 2: Die Formel wäre: 5 kg Tomaten + 5 kg Äpfel = 10 Euro + 5 Euro.
8. Beispiel 2: Wenn man auf der linken Seite 5 kg Äpfel wieder wegnimmt, dann muss man auf der rechten Seite der Waage ebenfalls den Wert für die 5 kg Äpfel wegnehmen. Schließlich kosten Tomaten nicht soviel wie Tomaten und Äpfel.
9. Beispiel 2: Auf der linken Seite heben sich + 5 kg Äpfel und - 5 kg Äpfel auf. Das kann also entfallen. Ebenso heben sich auf der rechten Seite + 5 Euro und - 5 Euro auf.
10. Übrig bleibt die Formel: 5 kg Tomaten = 10 Euro.
11. Beispiel 3: Wenn eine Pizza 5 Euro kostet und 3 Pizzen bestellt werden, bezahlt man 15 Euro.
12. Beispiel 3: Die Formel wäre daher: Pizza · 3 = 5 Euro · 3.
13. Beispiel 3: Möchte man den Preis für eine Pizza zurück ermitteln, muss man die Pizzen durch 3 teilen. Dasselbe gilt für die rechte Seite für den Preis. Auch der Preis muss durch 3 geteilt werden.
14. Beispiel 3: Auf beiden Seiten heben sich · 3 und : 3 auf.
15. Beispiel 3: Übrig bleibt die die Formel Pizza = 5 Euro.

Erläuterung zu den drei Beispielen

Wenn man die Beispiele genau verfolgt, wird man folgende Dinge feststellen:

Zunächst einmal stellt man fest, dass wenn man eine Variable entfernen möchte, dies durch eine neue Variable mit gegenteiligem Vorzeichen erreicht werden kann, z.B. wurden + 5kg Äpfel durch die neue Variable - 5kg Äpfel entfernt. Einige weitere Beispiele:
- Variable + y, wird entfernt mit - y
- Variable - h, wird entfernt durch + h
- Variable · b entfernt durch : b
- Variable : D wird durch · D
- Variable D² wird entfernt durch Wurzel aus D². Es gibt noch einige weitere Möglichkeiten. Für den Anfang sollte das jedoch genügen.
Die wichtigste Regel lautet: Was man auf der linken Seite tut, das tut man auch auf der rechten Seite. Das ist ganz wichtig. Ansonsten wäre die Formel nicht mehr im Gleichgewicht und man hätte nach dem Umstellen ein falsches Ergebnis.
Noch ein wichtiger Hinweis zum gegenseitigen Aufheben von Variablen. Man kann eine Variable durch eine neue Variable mit gegenteiligem Vorzeichen entfernen, z.B. + y kann mit - y aufgehoben werden. In den drei Beispielen hatte man das Glück, dass man auf beiden Seiten sich gegenseitig aufhebende Variablen vorfand, so dass man am Ende auf beiden Seiten nur noch einen einzigen Wert hatte. Das passiert jedoch in der Realität selten. Vielmehr taucht in den meisten Fällen die gegenteilige Variable auf der anderen Seite der Gleichung auf. Wenn man also auf der linken Seite z.B. eine vorhandene Variable + y mit - y entfernt, merke die wichtigste Regel: Alles was man links tut, das tue auch rechts. Also müsste man in diesem Beispiel ebenfalls - y an den Term auf der rechten Seite anhängen. Wenn auf der rechten Seite jedoch kein + y vorhanden ist, dann bleibt - y auf der rechten Seite bestehen, da es nichts gibt was die Variable aufheben würde. Das ist auch ein beliebter Trick, um eine Variable von links nach rechts oder umgekehrt zu bringen. Damit man auch das Verhalten versteht, eine weitere Bildergalerie mit echten Gleichungen.

Gleichungen umstellen aus der Mathematik

1. Beispiel 1: Beim ersten Beispiel handelt es sich um eine Formel aus der Kreisberechnung. Durchmesser x Pi (d · π) ergibt den Umfang (U) eines Kreises.
2. Beispiel 1: Man geht davon aus, dass der Umfang bekannt ist, dafür der Durchmesser nicht. Also muss die Formel nach d umgestellt werden.
3. Beispiel 1: Um das zu erreichen, muss · π entfernt werden.
4. Beispiel 1: Man entfernt es, indem man auf beiden Seiten eine gegensätzliche Variable einfügt.
5. Beispiel 1: Auf der linken Seite heben sich · π und : π auf. Auf der rechten Seite bleibt : π, da hier kein · π vorhanden ist.
6. Beispiel 1: Die neue Formel lautet: d = U : π.
7. Beispiel 2: Beim nächsten Beispiel handelt es sich um den Satz des Pythagoras. Damit kann man die unbekannte Seite eines rechtwinkligen Dreiecks berechnen.
8. Beispiel 2: Man geht davon aus, dass b und c bekannt sind, dafür a nicht. Also muss die Formel nach a umgestellt werden.
9. Beispiel 2: Hierfür muss einmal + b² entfernt werden. Danach muss man das Quadrat zu a entfernen.
10. Beispiel 2: Im ersten Schritt wird + b² entfernt, indem man wieder auf beiden Seiten eine gegensätzliche Variable - b² einfügt.
11. Beispiel 2: Auf der linken Seite heben sich + b² und - b² gegenseitig auf. Auf der rechten Seite bleibt - b².
12. Beispiel 2: Die Formel lautet vorerst a² = c² - b².
13. Beispiel 2: Im nächsten Schritt muss das Quadrat zu a entfernt werden. Das Gegenteilige zu Quadrat ist Wurzel ziehen. Daher wird auf beiden Seiten die Wurzel gezogen.
14. Beispiel 2: Wurzel von a² ergibt a. Man hätte die Formel erfolgreich umgestellt. Auf der rechten Seite wird die Wurzel gezogen, nachdem man man c² - b² berechnet hat.

Gleichungen lösen

Nachdem man eine Gleichung erfolgreich umgestellt hat, beginnt die eigentliche Berechnung. Dabei wird mit konkreten Werten gearbeitet, um die erarbeiteten Gleichungen lösen zu können. Je nachdem, welche Informationen verfügbar sind, setzt man die Werte anstelle der Formelzeichen ein und rechnet das Ergebnis aus.