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Kegel berechnen

Ein Kegel ist ein geometrischer Körper mit einer runden Grundfläche, wobei der Rand der Grundfläche zu einem bestimmten Punkt verläuft und der Punkt somit die Spitze darstellt.

Kegel

Ist die Grundfläche ein Kreis, so spricht man von einem Kreiskegel. Liegt die Spitze über dem Mittelpunkt der Grundfläche, ist der Kegel gerade. Weicht die Spitze vom Mittelpunkt der Grundfläche ab, ist der Kegel schief.

Die Grundfläche kann auch eine andere Form statt eines Kreises haben, z.B. eine Ellipse oder eine andere geschlossene Form. Auch hier gilt, dass wenn die Spitze über dem Mittelpunkt der Grundfläche ist, ist der Kegel gerade, ansonsten schief. Ist die Grundfläche ein Vieleck, ist es eine Pyramide bzw. ein Pyramidenstumpf, wenn der obere Teil abgeschnitten ist.

Beispiele mit verschiedenen Arten von Kegeln

Kreisrunder, gerader Kegel
Kreiskegel, gerade
Kreisrunder, schiefer Kegel
Kreiskegel, schief
Ellipsenförmiger, gerader Kegel
Ellipsenkegel (nicht kreisrund), gerade
Ellipsenförmiger, schiefer Kegel
Ellipsenkegel (nicht kreisrund), schief

Berechnungen an einem Kegel

Bei einem Kegel werden meistens folgende Dinge berechnet:

  • Grundfläche: Formelzeichen G
  • Volumen: Formelzeichen V
  • Höhe: Formelzeichen h
  • Mantelhöhe: Formelzeichen m
  • Mantelfläche: Formelzeichen M

Berechnung der Grundfläche G

Um die Grundfläche eines Kegels zu berechnen, bedient man sich den herkömmlichen Rechenmethoden. Ist die Grundfläche ein Kreis, benutzt man hierfür die Formel für die Fläche aus der Kreisberechnung. Ist die Grundfläche eine Ellipse oder eine andere Form, muss man sie mit den herkömmlichen Rechenmethoden ausrechen.

Die Grundfläche wird benötigt, um z.B. das Volumen ausrechnen zu können. Daher sollten grundlegende Kenntnisse über Flächenberechnungen vorhanden sein. Ist die Grundfläche ein Kreis, wäre die Formel beispielsweise d² · Pi : 4.

Grundfläche eines Kegels

Formel für Volumen eines Kegels

Formel für Volumen beim Kegel

Beispiel für ein Kreiskegel:

Durchmesser (d): 100mm

Höhe (h): 100mm

Gesucht: Volumen V

Berechnung für die Grundfläche: 100 · 100 · 3,14 : 4 = 7850mm²

Berechnung für das Volumen: 7850 : 3 · 100 = 261666,66mm³

Berechnung der Höhe eines Kegels mit Winkelfunktionen

Die Höhe eines Kegels kann wie bei einer Pyramide auf verschiedene Art und Weise berechnet werden. Die eine Möglichkeit besteht darin, die Winkelfunktionen anzuwenden.

Hierfür stellt man sich einen rechtwinkligen Dreieck im Kegel vor. Je nachdem welche Längen und Winkel verfügbar sind, kann die Höhe mit den Winkelfunktionen berechnet werden.

Alternativ kann man auch den Satz des Pythagoras anwenden. Hierbei wird kein Winkel benötigt, dafür die Längen der beiden anderen Seiten.

Rechtwinkliges Dreieck in einem Kegel

Formel für die Höhe, wenn das Volumen und die Grundfläche bekannt sind

Formel für die Höhe eines Kegels

Die Höhe kann auch berechnet werden, wenn das Volumen und die Grundfläche des Kegels bekannt sind.

Beispiel:

Grundfläche (G): 7850mm²

Volumen (V): 261666,66mm³

Gesucht: Höhe h

Berechnung: 261666,66 · 3 : 7850 = 100mm

Berechnung der Mantelhöhe eines Kegels mit Winkelfunktionen

Wie bei der Höhe kann auch die Mantelhöhe mit den Winkelfunktionen berechnet werden, wenn die notwendigen Informationen hierfür vorhanden sind. Hierbei braucht man nur eine Länge von den beiden anderen Seiten sowie einen Winkel.

Alternativ kann man ebenso den Satz des Pythagoras anwenden, wenn die Längen der beiden anderen Seiten bekannt sind. In diesem Fall braucht man keinen Winkel.

Anders als bei der Pyramide existiert keine Kante.

Mantelhöhe eines Kegels berechnen

Formel für die Mantelhöhe

Formel für Mantelhöhe eines Kegels

Die Mantelhöhe kann auch mit dieser Formel berechnet werden. Allerdings gilt die Formel nur unter folgenden Bedingungen.

  • Die Mantelhöhe kann berechnet werden, wenn die Höhe und der Durchmesser bekannt sind und die Höhe genau mittig auf den Durchmesser trifft.

Die Bedingung ist z.B. bei geraden Kreiskegeln erfüllt. Hierbei wird in etwas verändert Form der Satz des Pythagoras angewendet.

Beispiel:

Durchmesser (d): 100mm

Höhe (h): 100mm

Gesucht: Mantelhöhe m

Berechnung für die Mantelhöhe: 100 · 100 + (100 · 100 : 4) = 12500, Wurzel aus 12500 = 111,80mm

Berechnung der Mantelfläche einer Pyramide

Die Mantelfläche kann einfach berechnet werden, sofern es sich um einen geraden Kreiskegel handelt. Die gesamte Oberfläche setzt sich aus Mantelfläche + Grundfläche zusammen.

Formel für Mantelfläche eines Kreiskegels

Beispiel für einen Kreiskegel:

Durchmesser (d): 100mm

Mantelhöhe (m): 111,80mm

Gesucht: Mantelfläche M

Berechnung: 100 · 3,14 · 111,80 : 2 = 17552,6mm²

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